Następnie rozpoczął studia medyczne na Uniwersytet Stefana Batorego w Wilnie, które po roku kontynuował w Collegium Medicum Uniwersytetu Jagiellońskiego i tam ukończył w 1932. Podczas studiów wpływ na niego miał ks. Stanisław Sapiński, duszpasterz młodzieży akademickiej. Po uzyskaniu dyplomu Bilek trafił do krakowskiego Szpitala św. Łazarza, gdzie odbył praktykę na Oddziale Zakaźnym u boku prof. Józefa Kostrzewskiego. W 1934 uzyskał tytuł doktora medycyny za pracę pt. „O chorych na dur brzuszny”. Utrzymywał się dzięki stypendium prywatnej fundacji Ryszarda Pieściorowskiego, który był jego przodkiem.
W czerwcu 1935 otrzymał mianowanie na lekarza domowego, zamieszkującego przy Oddziale Zakaźnym, a 1 października 1935 otrzymał posadę głównego lekarza bakteriologa w Szpitalu św. Łazarza. Pod koniec 1935 opracował epidemiologię chorób zakaźnych w Krakowie i w Polsce. W tym czasie publikował prace naukowe. Po propozycji złożonej przez prof. Ludwika Hirszfelda z Państwowego Zakładu Higieny w 1938 objął stanowisko lekarza epidemiologa w krakowskiej filii PZH.