a orbity są klasami abstrakcji tej relacji, a więc dwa elementy są uważane za równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy oba wyznaczają tę samą orbitę (leżą w jednej orbicie), tzn.
Stabilizatory Stabilizator punktu jest podgrupą w Wynika to z faktu, iż wraz ze stałą na pewnym punkcie bijekcją wyznaczaną przez dany element do stabilizatora należy bijekcja do niej odwrotna, która również jest stała na pewnym punkcie oraz tego, iż złożenie dwóch bijekcji stałych na danym punkcie również jest stałe na tym punkcie. Zwykle nie jest to jednak podgrupa normalna. Grupa działa na w sposób wolny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie stabilizatory są trywialne.
Stabilizator całego zbioru to przecięcie wszystkich stabilizatorów elementów tego zbioru, gdyż przecięcie podgrup danej grupy również jest jej podgrupą. Tłumaczy to nazwę „grupa izotropii”.
Stabilizator zbioru można zdefiniować jako zbiór Innymi słowy są to te elementy grupy które wyznaczają przekształcenia tożsamościowe na zbiorze czyli Wynika stąd, że jest podgrupą normalną w jako jądro homomorfizmu