Twierdzenie Niech będzie dane dla ustalonego przekształcenie dane wzorem Obrazem tego odwzorowania jest orbita wyznaczana przez punkt a koobraz jest zbiorem wszystkich warstw lewostronnych stabilizatora Zwykłe twierdzenie o ilorazie teorii grup daje naturalną bijekcję między grupą ilorazową a Bijekcja ta dana jest wzorem Wynik ten znany jest w literaturze angielskiej jako „twierdzenie o orbitach i stabilizatorach” (ang. orbit-stabilizer theorem) lub „twierdzenie o klasyfikacji G-orbit” (ang. classification of G-orbits).
Wnioski Zliczanie elementów Powyższe twierdzenie wraz z twierdzeniem Lagrange’a daje
Dla i skończonych dodatkowo zachodzi
Wynik ten stosuje się szczególnie często podczas zliczania elementów zbioru.
Sprzężenie stabilizatorów Należy zauważyć, że jeżeli dwa elementy należą do tej samej orbity, to ich podgrupy stabilizujące są izomorficzne (lub sprzężone). Dokładniej: jeśli to O punktach mających sprzężone podgrupy stabilizujące mówi się, że mają ten sam typ orbity.
Lemat Burnside’a Wynikiem blisko związanym z powyższym twierdzeniem jest lemat Burnside’a: