pomijając wyrazy rzędu drugiego i wyższe.
Tw. Macierze infinitezymalnego obrotu są ortogonalne i przemienne – w odróżnieniu od macierzy obrotu o kąt skończony.
Dowód:
1) Rozważmy macierz
Macierz ta jest ortogonalna, gdyż
– różni się więc od macierzy jednostkowej tylko o pomijalnie małe wyrazy 2-go rzędu A więc z dokładnością do wyrazów 1-go rzędu macierze infinitezymalnego obrotu są ortogonalne, cnd.
2) Kwadrat macierzy tj.
z dokładnością do wyrazów 1-go rzędu ma tę własność, że kąt podwaja się.
3) Macierz infinitezymanego obrotu wokół osi z ma postać
Porównując iloczyny infinitezymalnych obrotów mamy:
Ponieważ jest 2-go rzędu, to można pominąć ten wyraz. Widać, że z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu mnożenie macierzy infinitezymalnego obrotu jest przemienne, tj. cnd.
Składając infinitezymalne obroty można otrzymać obroty skończone (por. Grupa obrotów).
Zobacz też grupa obrotów grupa SO(2) macierz ortogonalna
Bibliografia H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997. T. Trajdos, Matematyka cz. II, Podręczniki akademickie, Warszawa 1993.
Linki zewnętrzne
Macierze obrotu na stronie MathPages Parametryzacja SOn(R) za pomocą uogólnionych kątów Eulera Obrót wokół dowolnego punktu Obroty z wykorzystaniem kwaternionów
Kategoria:Fizyka matematyczna Kategoria:Przykłady macierzy kwadratowych Kategoria:Izometrie