dziedziną ideałów głównych dla pewnych odwracalnych macierzy i Postać kanoniczna Smitha Równoważność polega na tym samym, co pozwolenie na przemienne podstawowe transformacje rzędów i kolumn Przestrzenie wektorowe o skończonej ilości wymiarów nad ciałem i są izomorficzne jako przestrzenie wektorowe gdzie jest liczbą naturalną
Logika klasyczna dysjunkcyjna postać normalna forma preneksowa koniunkcyjna postać normalna skolemizacja
Analiza funkcjonalna Obiekty jest równoważne jeśli: Postać kanoniczna Przestrzeń Hilberta Jeśli i są obie ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta nieskończonego wymiaru, wtedy oraz są izometrycznie izomorficzne. są przestrzeniami sekwencyjnymi (z dokładnością do wymiany zbioru indeksów na inny zbiór indeksów o tej samej mocy zbioru)
Teoria liczb Postać kanoniczna liczb naturalnych Postać kanoniczna ułamka łańcuchowego
Algebra Obiekty jest równoważne jeśli: Postać kanoniczna Skończenie wygenerowane -moduły, gdzie jest dziedziną ideałów głównych i są izomorficzne jako -moduły Podstawowa dekompozycja (z dokładnością do zmiany kolejności) lub niezmienna rozkładu czynników.
Geometria Równanie prostej: gdzie oraz
Równanie okręgu: