Diagonalizacja endomorfizmu skończenie wymiarowej przestrzeni wektorowej – proces znajdowania bazy przestrzeni w której macierz jest diagonalna.
Endomorfizm nazywamy diagonalizowalnym, jeśli taka baza istnieje.
Wektory własne Niech Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza przestrzeni złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.
Dowód
Diagonalizowalność endomorfizmu jest równoważna istnieniu w przestrzeni „diagonalnej” bazy dla której
Ponieważ w tej bazie -ta kolumna macierzy endomorfizmu jest układem współrzędnych wektora w bazie tzn.
więc wszystkie wektory są wektorami własnymi endomorfizmu
Wniosek
Jeżeli jest endomorfizmem diagonalizowalnym i jest macierzą diagonalną, to baza składa się z wektorów własnych endomorfizmu a przekątna macierzy składa się z (niekoniecznie różnych) wartości własnych endomorfizmu (z zachowaniem odpowiedniej kolejności).
Warunek wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu Niech Warunkiem wystarczającym na diagonalizowalność endomorfizmu jest, aby wielomian charakterystyczny endomorfizmu miał n różnych wartości własnych.
Uwaga:
Jeżeli jest wartością własną endomorfizmu o krotności (jako pierwiastka wielomianu charakterystycznego), to dla podprzestrzeni odpowiadającej wartości własnej