Liczbą nazywamy wówczas krotnością algebraiczną, a liczbę nazywamy krotnością geometryczną wartości własnej
Warunek konieczny i wystarczający na diagonalizowalność endomorfizmu Niech Endomorfizm jest diagonalizowalny wtedy i tylko wtedy, gdy: wielomian charakterystyczny endomorfizmu ma postać gdzie oraz dla
gdzie jest podprzestrzenią przestrzeni odpowiadającą wartości własnej oraz
Przykład Diagonalizacja endomorfizmu
Niech będzie bazą kanoniczną w
Niech będzie wielomianem charakterystycznym macierzy
Wówczas
Konstrukcja przestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej
Stąd
Wektory są oczywiście liniowo niezależne i stanowią bazę przestrzeni
Konstrukcja przestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej
Stąd
Wektor jest bazą przestrzeni
Ostatecznie
więc jest endomorfizmem diagonalizowalnym.
Bibliografia
Kategoria:Morfizmy