Chociaż Grassmann rozpoczął temat w roku 1844 ze swoim dziełem Ausdehnungslehre, i opublikował je ponownie w 1862, jego praca nieszybko znalazła uznanie, ponieważ zwykła algebra liniowa dostarczała wówczas wystarczająco dużo wyzwań do zrozumienia.
Zagadnienia algebry wieloliniowej są wykorzystywane w badaniach rachunku różniczkowego i całkowego dla wielu zmiennych oraz rozmaitości, gdzie pojawia się macierz Jacobiego. Rachunek różniczkowy pojedynczej zmiennej staje się formą różniczkową w rachunku różniczkowym wielu zmiennych, a operacje na nich są przeprowadzane metodami algebry zewnętrznej.
Kontynuatorami Grassmana w rozwijaniu algebry wieloliniowej byli Victor Schlegel – opublikował on w 1872 roku pierwsza część System der Raumlehre – oraz Elwin Bruno Christoffel. Główny postęp w rozwoju algebry wieloliniowej nadszedł wraz z pracą Gregorio Ricciego-Curbastro i Tullio Leviego-Civity. Marcel Grossmann i Michele Besso przedstawili teorię „absolutnego rachunku różniczkowego” (autorstwa Ricciego) Albertowi Einsteinowi. Praca Einsteina wyjaśniająca precesje peryhelium Merkurego opublikowana w 1915 r. ustanowiła algebrę liniową oraz tensory jako istotne dla fizyki narzędzia matematyczne.
Zastosowanie w topologii algebraicznej