Oznacza to, że nie można wyliczyć całki nieoznaczonej
ale całka oznaczona
może zostać obliczona.
Całka Gaussa znajduje liczne zastosowania w fizyce, a liczne uogólnienia całki są stosowane w kwantowej teorii pola.
Obliczanie całki Gaussa Przez współrzędne biegunowe Standardowy sposób obliczania całki Gaussa, którego pomysł pochodzi od Poissonahttp://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf, wykorzystuje następujące równości
Rozważmy funkcję na płaszczyźnie i obliczmy tę całkę, korzystając z dwóch narzędzi przez podwójne całkowanie w układzie współrzędnych kartezjańskich całka ta jest kwadratem poprzez całkowanie po powierzchni (w przypadku całki podwójnej w układzie współrzędnych biegunowych) całka ta jest wyliczona i wynosi
Wykorzystując powyższe narzędzia do obliczeń, otrzymujemy
gdzie współczynnik pochodzi z przejścia do współrzędnych biegunowych ( jest standardową miarą na płaszczyźnie wyrażoną we współrzędnych biegunowych), a podstawienie polega na wzięciu stąd
Uzyskujemy
stąd
Dowód Aby uzasadnić całki podwójne niewłaściwe i przyrównać do siebie te dwa wyrażenia, zaczynamy od aproksymacji funkcji
Jeżeli całka
byłaby bezwzględnie zbieżna, mielibyśmy, że jej wartością główną jest granica
która pokrywa się z
Istotnie, zauważmy
Więc wyliczyliśmy całkę
przez wzięcie granicy