Biorąc kwadrat wyrażenia dostajemy

Korzystając z twierdzenia Fubiniego, powyższa całka może być postrzegana jako całka powierzchniowa

po kwadracie o wierzchołkach na płaszczyźnie

Ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje wartości większe od 0 dla wszystkich liczb rzeczywistych, całka po okręgu wpisanym w kwadrat musi być mniejsza niż Podobnie całka po okręgu opisanym na kwadracie musi być większa niż Całki te mogą być łatwo obliczone poprzez przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych

(Zobacz: przejście ze współrzędnych kartezjańskich do współrzędnych biegunowych).

Całkując, otrzymujemy

Z twierdzenia o trzech ciągach, otrzymujemy, że całka Gaussa

Przez współrzędne kartezjańskie Inna technika, pochodząca od Laplace’a (1812), jest następująca. Niech

Ponieważ granica z przy zależy od znaku zmiennej to upraszcza rachunki, korzystając z faktu, że jest funkcją parzystą, zatem całka nad zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych jest po prostu podwojeniem całki od do tj.

Tak więc w całym zakresie całkowania mamy a zmienne i mają te same ograniczenia. To daje nam

Zatem jak oczekiwaliśmy.

Związek z funkcją gamma Funkcja podcałkowa jest funkcją parzystą

Tak więc, po zmianie zmiennej zamienia się w całkę Eulera