gdzie jest funkcją gamma. To pokazuje dlaczego silnia z połowy jest rzeczywistą wielokrotnością
Ogólniej
Uogólnienia Całka z funkcji Gaussa Całką z funkcji Gaussa jest
Alternatywną całką jest
Całka ta jest bardzo przydatna w obliczaniu wartości oczekiwanych niektórych ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa dotyczących rozkładu normalnego. Zobacz np. wartość oczekiwana rozkładu logarytmicznie normalnego.
n-wymiarowe uogólnienie funkcjonalne Zobacz: wielowymiarowy rozkład normalny
Przypuśćmy, że jest macierzą symetryczną dodatnio określoną (stąd odwracalną). Wtedy
gdzie ta całka jest rozumiana jako całka na zbiorze Fakt ten jest stosowany w badaniach wielowymiarowego rozkładu normalnego.
Ponadto
gdzie jest permutacją a dodatkowy czynnik po prawej stronie to suma wszystkich kombinatorycznych par z z kopii
Alternatywnie,
dla pewnej analitycznej funkcji pod warunkiem, że spełnia ona pewne ograniczenia dotyczące jej przyrostu oraz niektóre inne kryteria techniczne (to działa dla niektórych funkcji, np. wielomianów). Eksponenta pod całką jest rozumiana jako szereg potęgowy.