Jeśli jest kwadratowo niewymierne, wtedy -niezmiennik jest liczbą algebraiczną stopnia liczba klas i minimalny (unormowany) wielomian, który ją spełnia jest zwany wielomianem klasy Hilberta. Zatem jeśli urojone rozwinięcie kwadratowe ma liczbę klas równą 1 (więc jest liczbą Heegnera) -niezmiennik jest liczbą całkowitą.
Forma modularna w rozwinięciu w szereg Fouriera zapisany jako szereg Laurenta dla wyrażenia zaczyna się następująco:
Współczynniki asymptotycznie rosną jak a najniższe współczynniki rosną dużo wolniej niż więc dla jest bardzo dobrze aproksymowane przez pierwsze dwa wyrażenia. Podstawiając otrzymujemy lub równoważne Teraz więc
lub
gdzie wyrażenie liniowe błędu jest
co wyjaśnia dlaczego jest w przybliżeniu liczbą całkowitą.
Formuły Pi Algorytm braci Davida i Gregory’ego Chudnovsky’ch odkryty w 1987
korzysta z faktu, że
Inne liczby Heegnera Dla czterech największych liczb Heegnera aproksymacjeMożna je sprawdzić obliczając na kalkulatorze i przyjmując w wyrażeniu liniowym dla błędu. są następujące:
Alternatywnie
gdzie przyczyną występowania kwadratów są pewne szeregi Einsteina. Dla liczb Heegnera nie otrzymuje się liczb niemal całkowitych;