Lemat Riesza — część 1

Lemat Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że jeżeli jest właściwą, domkniętą podprzestrzenią liniową przestrzeni unormowanej to dla każdego istnieje taki element że

oraz

dla wszelkich Innymi słowy

gdzie oznacza odległość punktu od podprzestrzeni

Twierdzenie udowodnione po raz pierwszy w 1918 przez Frigyesa Riesza w przypadku przestrzeni HilbertaFrigyes Riesz, Über lineare Funktionalgleichungen, „Acta Math.”, 41 (1918), s. 71–98.. Udowodniono również wersję lematu Riesza dla przestrzeni nad ciałami z nietrywialnymi waluacjami rzędu 1Edward Beckenstein, Lawrence Narici, Riesz’s Lemma in Non-Archimedean Spaces, „J. London Math. Soc.” 3 (1971), s. 501–506..

Dowody Ponieważ jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni z twierdzenia Hahna-Banacha wynika, że jest ona zawarta w jądrze funkcjonału liniowego o normie 1 na przestrzeni tj. dla wszelkich Niech będzie takim elementem o normie 1, że Wówczas

co kończy dowód. Niech oraz niech

Ponieważ podprzestrzeń jest domknięta, Z definicji infimum wynika istnienie takiego elementu że

Niech gdzie

Wówczas ma normę 1.