Ponadto, dla każdego
W szczególności,
a zatem
Stąd,
co kończy dowód.
Uwagi W przypadku gdy jest przestrzenią refleksywną, teza lematu Riesza zachodzi również dla Rzeczywiście, podprzestrzeń jest zawarta w jądrze funkcjonału o normie 1, ale funkcjonały liniowe i ciągłe na przestrzeniach refleksywnych osiągają swoją normę, tj. dla danego o normie 1, istnieje taki element że Wówczas
Prawdziwość tezy lematu Riesza dla = 1 charakteryzuje przestrzenie refleksywne. Rzeczywiście, jeżeli jest przestrzenią nierefleksywną to z twierdzenia Jamesa wynika istnienie takiego funkcjonału na o normie 1, który nie osiąga swojej normy. Niech będzie jądrem Wówczas jest domkniętą, właściwą podprzestrzenią przestrzeni Ponieważ nie osiąga swojej normy, nie istnieje żaden taki element o normie 1, że . Ze zwartości kuli jednostkowej w skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej wynika, że teza lematu Riesza zachodzi w przypadku, gdy podprzestrzeń jest skończenie wymiarowa.