Rzeczywiście, podprzestrzeń jest domknięta, będąc skończenie wymiarową podprzestrzenią Niech Wówczas Stąd Wynika stąd istnienie takiego ciągu elementów przestrzeni że
Ponieważ ciąg jest ograniczony, a skończenie wymiarowa, z twierdzenia Heinego-Borela wynika istnienie podciągu ciągu który jest zbieżny do pewnego Niech Wówczas
Ponadto, co kończy dowód.
Wzmocnieniem tak sformułowanej wersji lematu Riesza jest twierdzenie Krejna-Krasnoselskiego-Milmana.
Zastosowanie: niezwartość kuli jednostkowej nieskończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej Lemat Riesza używa się do dowodu następującej charakteryzacji skończenie wymiarowych przestrzeni unormowanych: Przestrzeń unormowana jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula jednostkowa jest zwarta. Zwartość kul w przestrzeniach skończenie wymiarowych wynika z twierdzenia Heinego-Borela. Implikację przeciwną dowodzi się przez kontrapozycję, używając lematu Riesza. Niech będzie nieskończenie wymiarową przestrzenią unormowaną oraz niech będzie wektorem o normie 1.