mały|Wykresy funkcji oraz dla
Twierdzenie o liczbach pierwszych, PNT (ang. prime number theorem) – twierdzenie opisujące asymptotyczny rozkład liczb pierwszych pośród liczb naturalnych. Jest ono jednym z najważniejszych wyników teorii liczb.
Treść twierdzenia Niech będzie funkcją liczącą liczby pierwsze nie większe od Na przykład ponieważ są cztery liczby pierwsze (2, 3, 5 i 7) mniejsze lub równe 10. Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że jest dobrym przybliżeniem (gdzie oznacza logarytm naturalny). Formalnie, granica funkcji będącej ilorazem i dla dążącego do nieskończoności jest równa 1,
Twierdzenie w pierwotnej formie nie opisuje zachowania różnicy funkcji i dla dążącego do nieskończoności. W zamian, zgodnie z twierdzeniem przybliża w znaczeniu, że błąd względny dla tego przybliżenia dąży do 0 dla dążącego do nieskończoności.
Równoważne sformułowania Choć treść twierdzenie sama w sobie opisuje jedynie zachowanie funkcji można je przeformułować na wiele różnych sposobów, z wykorzystaniem różnych innych funkcji.
-ta liczba pierwsza Treść twierdzenia o liczbach pierwszych jest równoważna relacjom
oraz
gdzie oznacza -tą liczbę pierwszą.
Pierwsza zależność sama w sobie nie jest szczególnym krokiem w stronę dowodu PNT, ale stanowi krok pomiędzy wykazaniem równoważności a
Funkcje Czebyszewa Niech