będzie pierwszą funkcją Czebyszewa, a
będzie drugą funkcją Czebyszewa (gdzie oznacza funkcję von Mangoldta). Można wykazać, że twierdzenie o liczbach pierwszych jest równoważne granicom
oraz
Funkcja Mertensa Przez oznaczmy funkcję Mertensa, daną jako
gdzie oznacza funkcję Möbiusa.
Twierdzenie o liczbach pierwszych jest równoważne relacji
Funkcja Liouville’a Niech
będzie funkcją sumującą funkcję Liouville’a (równą dla o rozkładzie ).
PNT jest równoważne granicy
Dowód
Dowód w oparciu o funkcję zeta Klasyczny dowód analityczny twierdzenia o liczbach pierwszych przeprowadza się korzystając z własności funkcji zeta Riemanna. Poniższy dowód pochodzi z wykładu Terence'a Tao z analitycznej teorii liczb.
Twierdzenie o liczbach pierwszych jest równoważne granicy
dla będącej drugą funkcją Czebyszewa. Zdefiniujmy funkcję jako zbieżny szereg
na półpłaszczyźnie oraz jako jej przedłużenie analityczne na reszcie płaszczyzny zespolonej. Funkcja ma iloczyn Eulera
,
gdzie oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Stąd
,
gdzie jest funkcją Möbiusa. Funkcja ma pochodną równą
,
zbieżną na . Stąd, korzystając ze splotu Dirichleta, możemy zapisać
,
gdzie to funkcja von Mangoldta. Aby obliczyć sumę cząstkową , skorzystamy ze wzoru Perrona.