Mamy
,
gdzie dla niecałkowitych oraz dla całkowitych (wykazanie jest równoważne z wykazaniem ). Z powyższego wzoru możemy odczytać zależność
,
gdzie i są odpowiednio sumami po wszystkich trywialnych i nietrywialnych miejscach zerowych funkcji . Z równania funkcyjnego funkcji Riemanna wiemy, że zerami trywialnymi są , więc jest to szereg potęgowy
,
a stąd
.
Pozostała część dowodu, ze względu na pozostałą sumę , polega na udowodnieniu, że funkcja nie ma żadnych miejsc zerowych na prostej .
Dowód elementarny W pierwszej połowie XX wieku niektórzy matematycy (m.in. G.H. Hardy) uważali, że istnieje hierarchia metod dowodzenia matematycznego, zależna od rodzaju liczb (całkowite, rzeczywiste, zespolone), które są używane w dowodzie. Twierdzenie o liczbach pierwszych jest „głębokie” w rozumieniu, że wymaga analizy zespolonejGoldfeld, Dorian (2004). „The elementary proof of the prime number theorem: an historical perspective” (PDF). In Chudnovsky, David; Chudnovsky, Gregory;