Nathanson, Melvyn. Number theory (New York, 2003). New York: Springer-Verlag, s. 179–192.. To przekonanie zostało podważone przez dowód twierdzenia o liczbach pierwszych wykorzystujący twierdzenie Weinera. Nie ma ścisłej i powszechnie akceptowanej definicji „dowodu elementarnego” w teorii liczb. Jedna z definicji mówi, iż jest to dowód, który może zostać przeprowadzony, wykorzystując aksjomaty Peano. Istnieją twierdzenia w teorii liczb (np. twierdzenie Parisa-Harringtona), które można udowodnić, używając metod arytmetyki drugiego rzędu, ale nie pierwszego rzędu, jednak są one rzadkie.
W marcu 1948 roku Atle Selberg udowodnił, używając elementarnych metod, asymptotyczną zależność
dla liczb pierwszych Selberg, Atle (1949). „An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem”. Annals of Mathematics. 50(2): s. 305–313.. Do lipca tegoż roku, Selberg i Paul Erdős niezależnie uzyskali elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych, używając powyższego wzoru Selberga jako punkt wyjściaBaas, Nils A.;