6 (1947) 33–44..

Dowód wersji twierdzenia dla przestrzeni polskich Niech Niech

będzie (przeliczalną) bazą przestrzeni Każda skończona miara borelowska na przestrzeni metrycznej jest regularna, więc z mierzalności funkcji wynika, że dla każdej liczby naturalnej można wybrać taki zbiór otwarty że

Niech

oraz

Wówczas oraz

Niech Wówczas

Istotnie, inkluzja od prawej do lewej zachodzi z samego określenia przeciwobrazu. Ponadto,

co dowodzi .

Należy wykazać, że funkcja jest ciągła. Niech będzie zbiorem otwartym w Wówczas

dla pewnego zbioru z uwagi na to, że rodzina jest bazą przestrzeni Stąd,

co oznacza, że zbiór jest otwarty w (topologii podprzestrzeni)

Z lematu Łuzina wynika istnienie takiego zbioru zwartego że .

Zastosowania Aproksymacja prawie wszędzie funkcji mierzalnych przez funkcje ciągłe Niech będzie przestrzenią normalną oraz niech będzie skończoną regularną miarą borelowską na bądź niech będzie przestrzenią lokalnie zwartą oraz niech będzie miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych.