Wówczas dla każdej funkcji mierzalnej
istnieje ciąg funkcji ciągłych
który jest zbieżny do zbieżność prawie wszędzie oraz .
Gęstość funkcji ciągłych o zwartym nośniku w przestrzeniach funkcji całkowalnych
W przypadku, gdy jest przestrzenią lokalnie zwartą oraz jest miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych, dla każdego przestrzeń funkcji ciągłych o zwartym nośniku jest gęsta w przestrzeni .
Istotnie, jest podzbiorem gdyż dla każdej funkcji zachodzi ,
gdzie skończoność wynika z założenia o skończoności miary na zbiorach zwartych a nierówność
wynika z twierdzenia Weierstrassa. Niech Ponieważ funkcje prawie wszędzie ograniczone w są gęste bez straty ogólności można przyjąć, że jest wszędzie ograniczona. Oznaczmy
Niech dany będzie Z twierdzenia Łuzina wynika, że istnieje wówczas taki zbiór zwarty oraz funkcja że
Wówczas
co dowodzi gęstości w
Przypisy
Bibliografia
Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolaos S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory, Kluwer Academic/Plenum Publishers, Boston-Dordrecht-London-New York 2003, .
John Littlewood, Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944.
Łuzina