W Peñarolu od najmłodszych lat był czołowym piłkarzem w swojej kategorii wiekowej w kraju; regularnie zdobywał po kilkadziesiąt goli w sezonie w rozgrywkach juniorskich, niezmiennie był również podporą młodzieżowych reprezentacji Urugwaju.
Ogromny potencjał Valverde i udane występy w kadrach młodzieżowych zaowocowały zainteresowaniem i ofertami z europejskich klubów, takich jak Arsenal, Chelsea, FC Barcelona czy Real Madryt. W styczniu 2015 spędził tydzień w Londynie, trenując pod okiem Arsène’a Wengera z pierwszą drużyną Arsenalu. W kwietniu zaczął okazyjnie być włączany do treningów pierwszego zespołu Peñarolu przez szkoleniowca Pablo Bengoecheę. W maju 2015 podpisał profesjonalny, trzyletni kontrakt z Peñarolem, a kilka dni później został graczem Realu Madryt. Hiszpański klub zapłacił za jego transfer pięć milionów euro, lecz ze względów proceduralnych przenosiny do Realu doszły do skutku dopiero rok później (gdy piłkarz osiągnął pełnoletniość). Bezpośrednio po tym został przeniesiony do seniorskiej drużyny Peñarolu – trener Bengoechea powiedział wówczas o nim: