W urugwajskiej Primera División zadebiutował 16 sierpnia 2015 w wygranym 3:0 spotkaniu z Cerro. Miesiąc później znalazł się na sporządzonej przez The Guardian liście pięćdziesięciu największych talentów światowego futbolu, zaś w styczniu 2016 został wybrany w plebiscycie dziennikarzy najlepszym młodym zawodnikiem w Urugwaju. W sezonie 2015/2016 wywalczył z Peñarolem mistrzostwo Urugwaju (wystąpił w dwunastu meczach, w ośmiu w pierwszym składzie), u boku graczy takich jak Diego Forlán, Nahitan Nández czy Marcelo Zalayeta. Mimo zaledwie siedemnastu lat notował udane występy; José Perdomo – jego były trener z akademii Peñarolu – porównał jego kreatywność i wizję gry do umiejętności legendarnego Carlosa Aguilery, zaś kolega z drużyny Luis Aguiar dostrzegł podobieństwa stylu gry Valverde z prezentowanym przez Andreę Pirlo i uznał go za najlepszego w Urugwaju specjalistę od długich podań od czasu zakończenia kariery przez Álvaro Recobę.