W czerwcu 2016 Valverde dołączył do rezerw Realu Madryt – trzecioligowej drużyny Real Madryt Castilla. W ekipie prowadzonej przez Santiago Solariego spędził rok w roli podstawowego zawodnika, równolegle występując także w zespole Realu do lat dziewiętnastu, gdzie jako kluczowy gracz w taktyce trenera Gutiego dotarł do półfinału Ligi Młodzieżowej UEFA. W czerwcu 2017 został wypożyczony do Deportivo La Coruña, w którego barwach 10 września 2017 w przegranej 2:4 konfrontacji z Realem Sociedad zadebiutował w Primera División.
W pierwszej ekipie Realu Madryt zadebiutował 23 października 2018 roku w meczu Lidze Mistrzów przeciwko Viktorii Pilzno.
Kariera reprezentacyjna Występy w barwach narodowych Valverde rozpoczął już jako czternastolatek. W listopadzie 2013 został powołany przez Alejandro Garaya do reprezentacji Urugwaju U-15 na Mistrzostwa Ameryki Południowej U-15. Na boliwijskich boiskach rozegrał dwa z czterech możliwych spotkań (obydwa w wyjściowym składzie) i strzelił gola w pojedynku z Wenezuelą (4:2). Urugwajczycy zakończyli natomiast swój udział w turnieju już na fazie grupowej.