Z drugiej strony, Steve Zelditch udowodnił, że zbiór wartości własnych problemu Dirichleta jest unikalny, jeśli ograniczymy się do analitycznych przestrzeni jednospójnych oraz poczynimy kilka dodatkowych założeń. Oznacza to, że w tej klasie kształtów bęben da się jednoznacznie zidentyfikować na podstawie jego brzmienia.
Wzór Weyla Wzór Weyla pozwala określić powierzchnię bębna na podstawie tego, jak szybko rosną wartości własne dla jego problemu Diraca. Konkretniej, jeśli uporządkujemy wartości własne to asymptotycznie, przy otrzymamy ,
gdzie oznacza wymiarowość przestrzeni (dla oryginalnego pytania Kaca ), objętość kuli w przestrzeni -wymiarowej, zaś objętość bębna (dla jego powierzchnię). Ponadto Weyl postawił hipotezę, że następny wyraz powyższego przybliżenia zależy od obwodu bębna. W roku 1980 Victor Ivrii udowodnił tę hipotezę, rozwijając, przy pewnych założeniach o regularności powyższy czynnik asymptotyczny: gdy
Rozszerzenia Analogiczne problemy można sformułować dla problemów Dirichleta dla laplasjanu na obszarach wyższego wymiaru bądź rozmaitościach Riemannowskich, a także dla innych eliptycznych operatorów różniczkowych, takich jak operator Cauchy’ego-Riemanna i operator Diraca. Można też zadawać inne warunki brzegowe niż Dirichleta, na przykład warunek brzegowy Neumanna.
Przypisy
Kategoria:Analiza funkcjonalna Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe