(4) Wybór bazy pozwala wykonywać w niej obliczenia, np. dowolne pole wektorowe może być rozłożone na składowe przez rzutowanie: na wektory bazy – wtedy pole to ma współrzędne kontrawariantne – lub na wektory kobazy – wtedy pole ma współrzędne kowariantne – współrzędne pola są zazwyczaj funkcjami różniczkowalnymi (zależnymi od punktów przestrzeni) – dzięki temu możliwe jest wykonywanie obliczeń, np. obliczanie zmian pola w zadanych warunkach, korzystając z równań pola (np. równań Maxwella, równań Einsteina).
Baza wektorów kontrawariantnych Obliczanie bazy wektorów kontrawariantnych (1) W każdym nieosobliwym punkcie rozpatrywanego obszaru można zdefiniować trzy wektory bazowe styczne odpowiednio do krzywych przy ustalonych wartościach dwóch pozostałych nowych współrzędnych
gdzie: – wektory ortonormalne układu współrzędnych kartezjańskich.
(2) Z powyższych wzorów widać, że: Baza układu kartezjańskiego transformuje się w bazę układu krzywoliniowego za pomocą macierzy transformacji
Elementami tej macierzy są pochodne współrzędnych kartezjańskich względem współrzędnych krzywoliniowych, obliczone w danym punkcie obszaru Macierze transformacji obliczone w różnych punktach przestrzeni będą mieć więc na ogół różne elementy.