thumb| Acordies con el segundu enunciáu Borel-Cantelli, con abondu tiempu, un chimpancé escribiendo al azar podría escribir una obra de Shakespeare (o cualesquier otru testu).
El teorema del monu infinitu afirma qu'un monu pulsiando tecles al azar sobre un tecláu mientres un periodu de tiempu infinitu casi de xuru va poder escribir finalmente cualquier testu dau. Nel mundu anglofalante suelse utilizar el Hamlet de Shakespeare como exemplu, mientres nel mundu hispanofalante utilízase'l Quixote de Cervantes.
Nesti contestu, el términu casi de xuru ye un términu matemáticu con un sentíu precisu y el "monu" nun ye en realidá un monu, sinón que se trata d'una metáfora de la creación d'una secuencia aleatoria de lletres ad infinitum.
La idea orixinal foi plantegada por Émile Borel, en 1913, nel so llibru Mécanique Statistique et Irréversibilité. Borel dixo que si un millón de monos mecanografiaran diez hores al día yera desaxeradamente improbable que pudieren producir daqué que fora igual a contener nos llibros de les biblioteques más requiers del mundu y aun así, en comparanza, sería entá más inverosímil que les lleis de la estadística fueren violaes, siquier someramente. Pa Borel, el propósitu de la metáfora de los monos yera ilustrar la magnitú d'un acontecimientu extraordinariamente improbable.
Dempués de 1970, la popular imaxe de los monos estender hasta'l infinitu, convirtiéndose en que si un infinitu númberu de monos mecanografiaran por un intervalu infinitu de tiempu produciríen testu legible. Aportunar en dambos infinitos ye, sicasí, escesivu. Un solu monu inmortal qu'executara infinitamente tecleos sobre una máquina d'escribir podría escribir cualquier testu dau, amás, el testu sería producíu un infinitu númberu de vegaes.
Esquisa intuitiva del teorema El teorema del monu infinitu ye direutamente demostrable, inclusive ensin necesidá de resultaos más avanzaes. Si dos acontecimientos son estadísticamente independientes, queriendo dicir esto que nengún d'ellos afecta al resultáu del otru, entós, la probabilidá de que dambos asocedan ye igual al productu de les probabilidaes individuales de qu'asoceda cada unu. Por casu, si les probabilidaes d'agua en Sydney nun día en particular ye 0,3 y la probabilidá de qu'esi mesmu día haya un terremotu en San Francisco ye d'un 0,8, entós, la probabilidá de que dambos asocedan el mesmu día ye 0,3x0,8=0,24.
Agora, suponiendo qu'un tecláu tenga 50 tecles y la pallabra a ser escrita ye “banana”, mecanografiando al azar, la probabilidá de que la primer lletra escrita sía b ye 1/50, de que la segunda sía a ye 1/50, etc. Dichos eventos son estadísticamente independientes, asina que la probabilidá de que les seis primeres lletres escrites sían “banana” ye 1/50⁶.
Agora, les probabilidaes de nun escribir “banana” en cada bloque de 6 lletres ye 1-1/50⁶. Yá que cada bloque tien de ser consideráu independientemente, la probabilidá X de nun escribir “banana” nos n primeros de 6 lletres ye X=(1-1/50⁶)n. A midida que n aumenta, X amenórgase. Pa n=1.000.000, X=99.99%, pero pa un n igual a 10 000 millones, X=53% y pa una n=100 000 millones ye un 0,17%. A midida que n averar a infinitu, la probabilidá de X tiende a cero. Esto ye, faciendo n lo suficientemente grande, X pue ser tan pequeñu como unu quiera. Si consideráramos les vegaes que s'escribiría “banana” ente bloques de 6 lletres, X tendería a 0 inclusive más rápido. El mesmu argumentu aplícase si'l monu tuviera escribiendo cualesquier otra cadena de calteres de cualquier tamañu.
Esta demostración amuesa por qué infinitos monos podríen (con casi toa probabilidá) producir un testu tan rápido como pudiera ser escritu por un mecanografiador humanu copiándolo dende l'orixinal. Nesti casu X=(1-1/50⁶)n, onde X representa la probabilidá de que nengún de los primeres n monos escribiera banana a la primera. Cuando consideremos 100 000 millones de monos, la probabilidá cai al 0,17% y a midida que n aumenta, X (la probabilidá de que tolos monos fallen al escribir un testu dau) tiende a 0.
Enunciáu formal A pesar de que'l teorema del monu infinitu ye de cutiu espresáu de manera informal, un enunciáu formal del mesmu esclariaría'l so significáu exactu. Ye más bono d'espresar nes cadenes de testu de la ciencia d'ordenadores, que son secuencies finitas de calteres d'un determináu alfabetu. Nesti estáu, los dos sentencies superiores podríen ser espresaes formalmente como:
Dada una cadena infinita onde cada calter ye escoyíu de manera aleatoria, cualquier cadena finita casi de xuru (probabilidá 1) asocedi como subcadena de la primera en dalguna posición (ello ye que n'infinites posiciones).
Dada una infinita secuencia d'infinites cadenes iguales a la primera, onde cada calter de cada cadena ye escoyíu de forma aleatoria, cualquier cadena finita casi de xuru asocede como un prefixu d'una d'eses cadenes infinites (ello ye que como prefixu d'infinites de diches cadenes na secuencia).
Dambes sentencies estrayer cenciellamente de la segunda máxima de Borel-Cantelli. Suponiendo que'l nuesu testu deseyáu tien un llargor n, pal segundu teorema, Yk ye'l socesu de que la k-ésima cadena empiece col testu dau. Yá que esto tien la probabilidá p non cero d'asoceder, la Yk ye independiente y la suma inferior diverxe, la probabilidá de qu'infinites Yk asocedan ye 1. El primer teorema ye igual, sacantes estremamos la cadena aleatoria en bloques ensin sobreponer de n calteres cada unu y faemos Yk l'eventu en que'l bloque k-ésimo iguala la cadena deseyada.
Ello ye que inclusive diendo a infinitu puede ser escesivu. Si l'alfabetu tien un tamañu a, entós puede ser demostráu que la probabilidá de qu'una de les primeres an asoceda ye siquier 1/2. Entós, 20an intentos podríen ser abondos pa escribir el testu dau con una probabilidá bien próxima a 1. El problema inclusive fai paralelismu bien: k monos pueden escribir el testu k vegaes más rápidu. Pa un n pequeñu nun ye demasiáu malu. Por casu, mil monos escribiendo lletres al azar a un ritmu de 100 calteres per minutu podríen probablemente escribir la pallabra «banana» nunos seis selmanes.
Esti teorema ye una instancia de la Ley Cero-Unu de Kolmogórov.
Probabilidaes Inorando puntuación, espaciamientu y mayúscules/minúscules y asumiendo una distribución uniforme de lletres, un monu tien una probabilidá ente 26 d'escribir correutamente la primer lletra de Hamlet. La probabilidá de qu'escriba bien les dos primeres lletres ye 1 ente 676 (26 vegaes 26). Cuando 20 lletres fueren escrites, les probabilidaes de que fueren les correutes amenorgar a una ente 2620=19.928.148.895.209.409.152.340.197.376, aproximao la mesma probabilidá de qu'a una mesma persona tóquenlu 4 lloteríes consecutives. En casu del testu completu de Hamlet, la probabilidá ye tan abismalmente pequeña que difícilmente puede ser concebida en términos humanos. El testu de Hamlet, esaniciando cualquier puntuación, contién unes 130.000 lletres.
El pixín fechu de qu'esista una oportunidá, sicasí, ye la clave del teorema de los infinitos monos, yá que la llei Cero-Unu de Kolmogórov diz que dada una serie infinita de socesos independientes tien de tener una probabilidá de 0 o 1. Yá que demostremos enriba que la probabilidá nun ye 0, ten de ser entós 1. Considerar qu'un acontecimientu tan improbable ye seguro que soceda asocedíu un tiempu infinitu puede danos una idea de la enormidad del términu infinitu.
Gian-Carlo Rota escribió un llibru de testu sobre la probabilidá (non termináu cuando morrió):
“Si'l monu pudiera pulsiar una tecla cada nanosegundo, el tiempu esperáu hasta qu'escribiera Hamlet ye tan grande que la edá envalorada del universu ye insignificante en comparanza... Esti nun ye un bon métodu d'escribir llibros (Nun podemos aguantar la tentación de citar a A. N. Whitehead, “Nun voi dir al infinitu”).”
En The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures (MacMillan, Nueva York, 1929, páxina 72), el físicu Arthur Eddington escribió:
“Si dexara los mios deos analayar ociosos sobre les tecles d'una máquina d'escribir podría pasar que surdiera una oración intelixible. Si una lexón de monos tuvieren escribiendo en máquines d'escribir, podríen escribir tolos llibros del Muséu Británicu. La probabilidá ye decididamente más favorable que la probabilidá de que les molécules conteníes nun recipiente ocuparen namái la metá del mesmu”.
En física, pos, la fuercia del argumentu de los monos mora non na probabilidá de que los monos finalmente produzan daqué intelixible, sinón na realidá práutica de que nun lo fadrán. Cualquier procesu físicu que ye menos probable que l'ésitu de los monos ye efeutivamente imposible. Esta ye la base de la segunda llei de la termodinámica.
Mitos avera del orixe Dacuando afirmóse, a pesar de que ye práuticamente imposible, que l'usu de Borel de los monos y les máquines d'escribir na so teorema ta inspiráu nel argumentu usáu por Thomas Henry Huxley el 30 de xunu de 1860. Huxley aldericaba col obispu anglicanu d'Oxford, Samuel Wilberforce, na xunta del British Association for the Advancement of Science en Oxford, del cual Wilberforce yera vicepresidente. Wilberforce topábase agafáu pola publicación de L'orixe de les especies de Charles Darwin unos meses antes, en payares de 1859. Nun esiste una trescripción del alderequier, nin tampoco archivos contemporáneos a los mesmos nin les notes de Huxley inclúin referencia dalguna al teorema del monu infinitu. L'asociación de dichu alderequier col teorema de los infinitos monos ye probablemente una lleenda urbana, disparada pol fechu de que dichu alderequier incluyó ciertes referencies a los monos: L'obispu preguntó a Huxley si baxaba d'un monu per parte de madre o de padre y Huxley contestó que prefería baxar d'un monu que de daquién qu'argumentaba tan descortésmente como l'obispu. Ye difícil pensar que Huxley fixera referencia a una máquina d'escribir. A pesar de que les primeres patentes de les mesmes fueron concedíes en 1714, la producción comercial nun empezó hasta 1870 y un orador tan habilidosu como Huxley escasamente depositara'l pesu de la so argumentación nun inventu que fuera desconocíu casi pa la mayoría de la so audiencia.
Esperimentos Este ye un esperimentu que claramente nun puede ser lleváu a la práutica, yá que requier o bien un tiempu infinitu o bien recursos infinitos. A pesar d'ello, inspiró esfuercios na creación aleatoria de testu.
El sitiu web The Monkey Shakespeare Simulator,Vease'l sitiu web “The Monkey Shakespeare Simulator” puestu en marcha'l 1 de xunetu de 2003, contién un applet en Java qu'asemeya una gran población de monos escribiendo al azar, col enfotu de ver cuanto tiempu toma a los monos virtuales completar una obra de Shakespeare dende'l principiu a la fin. El 3 de xineru de 2005 atopáronse 24 lletres consecutives que formaben un pequeñu fragmentu d'Enrequier VI, parte 2:
“RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d "B-nEoF.vjSqj[..."
Darréu, el mesmu esperimentu, llogró 30 lletres de Julio César de Shakespeare:
Flauius. Hence: home you idle CrmS3RSs jbnKR IIYUS2([;3ei'Qqrm'
Por cuenta de llimitaciones na capacidá de procesamientu, el programa usa un modelu probabilístico (por aciu l'usu d'un xenerador de númberos aleatorios) en llugar de xenerar testu aleatoriu y comparalo con Shakespeare. Cuando'l simulador detecta una semeyanza (esto ye, cuando'l xenerador de númberos aleatorios xenera un determináu valor dientro d'un determináu rangu), el simulador emula la coincidencies xenerando'l testu de la mesma.