miniatura|Diez mil primeres cifres decimales del númberu en formatu cartelu. La constante matemática ye unu de los númberos irracionales más importantes. Ye aproximadamente igual a 2,71828 y apaez en diverses cañes de les Matemátiques, al ser la base de los llogaritmos naturales y formar parte de les ecuaciones del interés compuestu y otros munchos problemes.
El númberu , conocíu n'ocasiones como númberu d'Euler o constante de Napier, foi reconocíu y utilizáu per primer vegada pol matemáticu escocés John Napier, quien introdució'l conceutu de llogaritmu nel cálculu matemáticu.
Xuega un papel importante nel cálculu y nel analís matemáticu, na definición de la función más importante de la matemática, la función esponencial, según lo ye de la xeometría y el númberu del analís complexu y de la álxebra.
El númberu , al igual que'l númberu y el númberu áureo (φ), ye un númberu irracional, non expresable por aciu una razón de dos númberos enteros; o bien, nun puede ser representáu por un numberal decimal exactu o un decimal periódicu. Amás, tamién como , ye un númberu trascendente, esto ye, que nun puede ser raigañu de nenguna ecuación alxebraica con coeficientes racionales. El valor de truncáu a les sos primeres cifres decimales ye'l siguiente:
Llista de númberos – Númberos irracionalesζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δBinariu 10.10110111111000010101…Decimal 3.14159265358979323846…Hexadecimal 3.243F6A8885A308D31319…Fraición continua Nótese que la fracción continua nun ye periódica.
Historia
miniatura|200px|Leonhard Euler popularizó l'usu de la lletra e pa representar la constante; amás foi'l descubridor de numberoses propiedaes referentes a ella.
A diferencia de , la introducción del númberu na matemática ye relativamente recién, lo cual tien sentíu si considérase qu'esti postreru tuvo un orixe analíticu y non xeométricu, como'l primeru. Nes pallabres d'Eli Maor:
Les primeres referencies a la constante fueron publicaes en 1618 na tabla nun apéndiz d'un trabayu sobre llogaritmos de John Napier. Sicasí, esta tabla nun contenía'l valor de la constante, sinón que yera a cencielles una llista de llogaritmos naturales calculaos a partir d'ésta. Créese que la tabla foi escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, vese nuevamente arreyáu na lliteratura matemática, anque non del tou. Esi añu, Briggs dio un aproximamientu numbéricu a los llogaritmos en base 10, pero nun mentó al númberu explícitamente nel so trabayu.
La siguiente apaición de ee daqué dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó l'área so la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexón colos llogaritmos ye una cuestión abierta a alderique, ya inclusive si facer, nun hubo razón por que tratara con explícitamente. Quien sí entendió la rellación ente la hipérbola rectangular y el llogaritmu foi Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área so la curva . El númberu ee aquel valor d'ascisa a tomar por que l'área so esta curva a partir de 1 sía igual a 1. Esta ye la propiedá que fai que sía la base de los llogaritmos naturales, y magar nun yera entendida del tou polos matemáticos d'aquel entós, d'a pocu diben averándose a la so comprensión.
Sicasí, y seique inesperadamente, nun ye al traviés de los llogaritmos que ee descubiertu, sinón del estudiu del interés compuestu, problema encetáu por Jacob Bernoulli en 1683. Si inviértese una Unidá Monetaria (que vamos embrivir en delantre como UM) con un interés del 100% añal y páguense los intereses una vegada al añu, van llograse 2 UM. Si paguen los intereses 2 vegaes al añu, estremando l'interés ente 2, la cantidá llograda ye 1 UM multiplicáu por 1,5 dos veces, ye dicir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si estremamos l'añu en 4 periodos (trimestres), al igual que la tasa d'interés, llógrense 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414... En casu de pagos mensuales el monto xube a 1 UM x = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que s'aumentar la cantidá de periodos de pagu nun factor de n (que tiende a crecer ensin llende) y amenórgase la tasa d'interés nel periodu, nun factor de , el total d'unidaes monetaries llograes va tar dau pola siguiente espresión:
Bernoulli utilizó'l teorema del binomiu p'amosar que dichu llende atopar ente 2 y 3. Puede considerase esta'l primer aproximamientu atopáu pa . Inclusive si aceptamos esta como una definición de , seria la primer vegada qu'un númberu defínese como un procesu de llende. Con seguridá, Bernoulli nun reconoció nenguna conexón ente'l so trabayu y los llogaritmos. D'equí provién la definición que se da de en finances, qu'espresa qu'esti númberu ye la llende d'una inversión de 1 UM con una tasa d'interés al 100% añal compuestu en forma continua. En forma más xeneral, una inversión que s'empecipia con un capital C y una tasa d'interés añal R, va apurrir UM con interés compuestu.
El primer usu conocíu de la constante, representáu pola lletra b, foi nuna carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler empezó a utilizar la lletra y pa identificar la constante en 1727, y el primer usu de nuna publicación foi en Mechanica, d'Euler, publicáu en 1736. Ente que nos años subsiguientes dellos investigadores usaron la lletra c, foi la más común, y finalmente convirtióse na terminoloxía avezada. Euler realizó dellos apurras en rellación a nos años siguientes, pero nun foi hasta 1748 cuando publicó'l so Introductio in Analysin infinitorum que dio un tratamientu definitivu a les idees sobre . Ellí amosó que : y dio un aproximamientu pa de 18 cifres decimales, ensin amosar cómo la llogró. Tamién dio la so espresión como fracción continua reconociendo'l patrón que sigue dicha espresión. Foi esta carauterización la que lu sirvió de base pa concluyir que ee un númberu irracional, y la mayor parte de la comunidá acepta que Euler foi'l primeru en probar esta propiedá.
La pasión que guio a muncha xente a calcular más y más cifres decimales de nunca paeció retrucar de la mesma manera pa . Sicasí, dalgunos embarcáronse na xera de calcular la so espansión decimal y el primeru en contribuyir con esto foi William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks foi un entusiasta entá mayor del cálculu de los decimales de . James Whitbread Lee Glaisher amosó que los primeres 137 llugares de Shanks pal cálculu de eeren correutos, pero atopó un error que, depués de correxíu pol mesmu Shanks, refundio cifres decimales de y hasta'l llugar 205. Ello ye que precísense alredor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... pa llograr 200 decimales.
Espansiones decimales entá mayores siguieron colos trabayos de Boorman en 1884, quien calculó 346 llugares y topó que'l so cómputu coincidía col de Shanks hasta'l llugar 187, pero depués diverxíen. En 1887 Adams envaloró'l llogaritmu de en base 10 con 272 cifres exactes.
En 1873, Charles Hermite (1822-1905) llogró demostrar que ee trascendente, a dichu llogru llegó usando un polinomiu, consiguíu con ayuda de fracciones continues, emplegaes, enantes, por Lambert. David Hilbert — tamién Karl Weierstrass y otros — propunxeron, posteriomente, variantes y cambeos de les primeres demostraciones.
Definición miniatura|derecha|L'área ente la exa x y la gráfica e = 1/x, ente x = 1 y x = e ye 1.
La definición más común de ee como'l valor llende de la socesión . En símbolos, :
Dacuando tómase tamién como puntu de partida la serie
que s'espande como :
Otra definición habitualEsta forma de definir la función llogaritmu natural, el númberu e, la función esponencial, etc. puede atopase en Cálculu Infinitesimal 2ª edición, cap. 17 (p. 465) de Michael Spivak, Reverté o en Calculus 2ª edición, cap. 6 (p. 277) de Tom Apostol, Reverté. dada al traviés del cálculu integral ye como solución de la ecuación
ye dicir que se define como'l númberu pal que
Propiedaes matemátiques y aplicaciones
Analís matemáticu
Función esponencial
derecha|e ye l'únicu númberu a, tal que la derivada de la función esponencial f(x) = ax (curva azul) nel puntu x = 0 ye igual a 1. En comparanza, les funciones 2x (curva a puntos) y 4x (curva a trazos) son amosaes; nun son tanxentes a la llinia de rimada 1 (colloráu).
Pa cualesquier , la socesión converxe. Podemos denotar dichu llende con :
Llámase función esponencial a la función real que la so variable independiente percuerre'l conxuntu de los númberos reales, y defínese como
La traza más relevante de la función esponencial ye que la so función derivada (qu'esiste en tou puntu) coincide cola mesma función, esto ye,
Amás, ye la única función non idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedá. Esto fai de la esponencial la función más importante del analís matemáticu, y en particular pa les ecuaciones diferenciales.
El desenvolvimientu en serie de la función realizar por aciu la fórmula de Maclaurin. Yá que
la fórmula de Maclaurin escribir de la siguiente manera:
Suponiendo x=1, llógrase'l valor averáu del númberu
Onde s'entiende como un valor averáu.V. S. Shipachev. Op. cit.
Problema de Steiner
miniatura|derecha|250px|El máximu global de asocede en .
Esti problema plantega atopar el máximu absolutu de la función
Esti máximu dase precisamente en .
Coles mesmes, ye'l mínimu absolutu de la función
definida pa . Más polo xeneral, la función
algama'l so máximu global en pa ; y el mínimu global atopar en pa .
La tetración infinita
o
converxe si y solu si , por un teorema de Leonhard Euler.
Númberos complexos miniatura|250px|Representación xeométrica de la fórmula d'Euler.
El númberu presenta na fórmula d'Euler un papel importante rellacionáu colos númberos complexos:
El casu especial con ee conocíu como identidá d'Euler o fórmula mística d'Euler
de lo que se deduz que:
Amás, utilizando les lleis de la exponenciación, llógrase:
que ye la fórmula de De Moivre.
Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la espunxo ante los sos alumnos, y manifestó la so reconocencia ante la maraviyosa conexón de los cinco númberos más famosos de tola matemática.
Probabilidá ya estadística
El númberu e tamién apaez n'aplicaciones a la teoría de probabilidaes. Un exemplu ye'l problema de los desigües, decubierto en parte por Jacob Bernoulli xunto con Pierre Raymond de Montmort, tamién conocíu como el problema de los sombreros: los convidaos a una fiesta dexen a la entrada los sos sombreros col mayordomu, quien los asitia depués en compartimientos, cada unu col nome d'unu de los invitaos. Pero'l mayordomu nun conoz la identidá de los invitaos, y entós asitia los sombreros nos compartimientos al azar. El problema de De Montmort ye atopar la probabilidá de que nengún de los sombreros sía asitiáu nel compartimientu correutu. La respuesta ye:
A midida que el númberu d'invitaos tiende a infinitu, averar a . Mas entá, el númberu de maneres en que pueden asitiase los sombreros nos compartimientos de forma que nengún correspuenda al so dueñu ye arrondáu al enteru más cercanu, pa cada positivu . El resultáu anterior puede reformulase de la siguiente manera: sía la probabilidá de qu'una función aleatoria del conxuntu 1, 2, ..., n en sí mesmu tenga siquier un puntu fixu. Entós
Otra apaición de na probabilidá ye nel siguiente problema: tiense una secuencia infinita de variables aleatories , ..., con distribución uniforme en [0,1]. Sía el menor enteru tal que la suma de les primeres observaciones ye mayor que 1:
Depués, . Esta resultáu dexa envalorar el valor de la constante per mediu de simulaciones aleatories.
Sicasí, el papel más relevante que xuega'l númberu nesta caña de la matemática vien dau al traviés de la función de densidá de probabilidá pa la distribución normal con media μ y esviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:
El rol d'esta distribución ye central na teoría y la práutica.
Teoría de Númberos
Les siguientes dos rellaciones son corolarios direutos del teorema de los númberos primosS. M. Ruiz 1997
onde ee n-esimo primu e ee'l primorial del n-esimo primu.