Лімі́т фу́нкцыі — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.
Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца лімітавым пераходам.
Калі функцыя мае ліміт ў пункце , гэта абазначаецца наступным чынам:
Азначэнне ліміту
(ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)
Лік называецца лімітам функцыі пры імкненні да , калі для любога ліку існуе такі лік , што для ўсіх , якія задавальняюць умову
справядлівая няроўнасць
Або, кажучы словамі, функцыя мае ліміт ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад больш чым на .
Азначэнне праз ліміт паслядоўнасці (паводле Гейнэ)
Функцыя мае ў пункце канечны ліміт , калі і толькі калі для любой паслядоўнасці , якая збягаецца да пункта :
адпаведная паслядоўнасць значэнняў функцыі збягаецца да :
Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту
Крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту
Функцыя мае ў пункце канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага існуе такое , што для любых і , узятых з δ-наваколля пункта , спраўджваецца няроўнасць
Заўвага: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.
Уласцівасці
Калі існуюць канечныя ліміты і , тады справядлівыя сцвярджэнні:
1) Лімітавы пераход з’яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў і існуе ліміт лінейнай камбінацыі
Заўвага: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:
2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:
3) Калі , то існуе ліміт дзелі, прычым:
4) Калі і , то існуе ліміт ступені, прычым:
Гл. таксама Аднабаковы ліміт функцыі Ліміт у матэматыцы Ліміт паслядоўнасці
Зноскі
Катэгорыя:Матэматычны аналіз Катэгорыя:Ліміты