Лімі́т, у старых і агульных слоўніках названы таксама грані́ца — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця ліміту заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні ліміту. Залежна ад таго, у якіх прасторах яго ўводзяць, паняцце ліміту набывае пэўны сэнс.
На паняцці ліміту грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.
Ліміт у матэматычным аналізе
Ліміт паслядоўнасці
Ліміт паслядоўнасці азначаецца для паслядоўнасці элементаў тапалагічнай прасторы пры імкненні да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да свайго ліміту , калі для любога наваколля элемента існуе нумар , такі што для ўсіх выконваецца . Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць збягаецца да свайго ліміту , калі для любога , якое больш за нуль, існуе , якое залежыць ад , пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: . Збежнасць паслядоўнасці да ліміту запісваюць як
Ліміт функцыі
Няхай і — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя вызначана на мностве , якое з’яўляецца падмноствам прасторы . Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта ёсць хаця б адзін пункт мноства .
Пункт называюць лімітам функцыі пры імкненні да , калі для ўсякага наваколля пункта ў прасторы існуе такое наваколле пункта у прасторы , што для адвольнага пункта яго вобраз належыць , г.зн.
Пры гэтым пішуць
або пры .
Ліміт інтэгральных сум
Няхай на адрэзку вызначана функцыя . Падзелім гэты адрэзак пунктамі на частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік . Інтэгральная сума вызначаецца як
Калі існуе канечны ліміт інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей , то яна называецца вызначаным інтэгралам Рымана ад функцыі на адрэзку .
Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як ліміт інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.
Катэгорыя:Матэматычны аналіз Катэгорыя:Ліміты