Тэарэма Пойнтынга () — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:
,
Дзе S — вектар Пойнтынга, J — шчыльнасць току і E — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі ( — электрычная пастаянная, — магнітная пастаянная).
Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:
,
дзе — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём .
У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так ( — шчыльнасці энергіі):
,
дзе — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і — магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.
Вывад
Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):
Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на , атрымаем:
Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:
Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на , атрымаем:
Адымаючы першае з другога, атрымаем:
Нарэшце:
Паколькі вектар Пойнтынга вызначаецца як:
гэта раўнасільна:
Абагульненне
Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы
дзе — кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц
— паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:
Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі
Альтэрнатыўныя формы
Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку , можна выбраць форму Абрагама , форму Мінкоўскага , або якую-небудзь іншую.
Катэгорыя:Электрадынаміка Катэгорыя:Фізічныя тэарэмы