Ураўненні Максвела

Ураўне́нні Ма́ксвела — сістэма ўраўненняў у дыферэнцыяльнай або інтэгральнай форме, якія апісваюць электрамагнітнае поле і яго сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі ў вакууме і суцэльных асяроддзях. Разам з выразам для сілы Лорэнца, што задае меру ўздзеяння электрамагнітнага поля на зараджаныя часціцы, ураўненні Максвела ўтвараюць поўную сістэму ўраўненняў класічнай электрадынамікі, якую часам называюць ураўненнямі Максвела — Лорэнца. Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам на аснове назапашаных к сярэдзіне XIX стагоддзя эксперыментальных вынікаў, адыгралі ключавую ролю ў развіцці ўяўленняў тэарэтычнай фізікі і аказалі моцны, у некаторых выпадках вырашальны, уплыў не толькі на ўсе вобласці фізікі, непасрэдна звязаныя з электрамагнетызмам, але і на многія пазнейшыя фундаментальныя тэорыі, прадмет якіх не зводзіўся да электрамагнетызму (адным з самых яскравых прыкладаў тут можа служыць спецыяльная тэорыя адноснасці).

Гісторыя

Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам, узніклі на аснове шэрага важных эксперыментальных адкрыццяў пачатку XIX стагоддзя. У 1820 годзе Ганс Хрысціян Эрстэд выявіўЭрстэд Г. Х. «Вопыты, якія адносяцца да дзеяння электрычнага канфлікту на магнітную стрэлку», што гальванічны ток, які прапускаецца праз провад, прымушае адхіляцца магнітную стрэлку компаса. Гэта адкрыццё прыцягнула шырокую ўвагу навукоўцаў таго часу. У тым жа 1820 Біё і Савар эксперыментальна знайшлі выразJ.-B. Biot and F. Savart, Note sur le Magnétisme de la pile de Volta . — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820) для спароджанай токам магнітнай індукцыі (закон Біё — Савара), і Андрэ Мары Ампер выявіў, што ўзаемадзеянне на адлегласці ўзнікае таксама паміж двума праваднікамі, па якіх прапускаецца ток. Ампер ўвёў тэрмін «электрадынамічны» і выказаў гіпотэзу, што прыродны магнетызм звязаны з існаваннем у магнітах кругавых токаў.

Уплыў току на магніт, выяўлены Эрстэдам, прывёў Майкла Фарадэя да ідэі аб тым, што павінен існаваць і адваротны ўплыў магніта на токі. Пасля працяглых эксперыментаў, ў 1831 годзе, Фарадэй адкрыў, што магніт, які перамяшчаецца каля правадніка, спараджае ў правадніку электрычны ток. Гэта з’ява была названа электрамагнітнай індукцыяй. Фарадэй увёў паняцце «поля сіл» — пэўнага асяроддзя, якое знаходзіцца паміж зарадамі і токамі. Яго разважанні насілі якасны характар, але яны аказалі вялікі ўплыў на даследаванні Максвела.

Пасля адкрыццяў Фарадэя стала ясна, што старыя мадэлі электрамагнетызму (Ампера, Пуасона і інш.) няпоўныя. Неўзабаве з’явілася тэорыя Вебера, заснаваная на дальнадзеянні. Аднак на той момант уся фізіка, акрамя тэорыі прыцягнення, мела справу толькі з блізкадзеючымі сіламі (оптыка, тэрмадынаміка, механіка суцэльных асяроддзяў і інш.). Гаус, Рыман і шэраг іншых навукоўцаў выказвалі здагадкі, што святло мае электрамагнітную прыроду, так што тэорыя электрамагнітных з’яў таксама павінна быць блізкадзеючай. Гэты прынцып стаў істотнай асаблівасцю тэорыі Максвела.

У сваім знакамітым «Трактаце аб электрычнасці і магнетызме» (1873) Максвел пісаў:

Прыступаючы да вывучэння працы Фарадэя, я выявіў, што яго метад разумення з’яў таксама быў матэматычным, хоць і не прадстаўленым у форме звычайных матэматычных знакаў. Я таксама знайшоў, што гэты метад можна выказаць у звычайнай матэматычнай форме і такім чынам параўнаць з метадамі прафесійных матэматыкаў.

Замяняючы фарадэеўскі тэрмін «поле сіл» на паняцце «напружанасць поля», Максвел зрабіў яго ключавым аб’ектам сваёй тэорыі:

Калі мы прымем гэта асяроддзе ў якасці гіпотэзы, я лічу, што яно павінна займаць выдатнае месца ў нашых даследаваннях, і што нам варта было б паспрабаваць сканструяваць рацыянальнае ўяўленне аб ўсіх дэталях яго дзеяння, што і было маёй пастаяннай мэтай у гэтым трактаце.

Падобная электрадынамічнае асяроддзе стала абсалютна новым паняццем для ньютанаўскай фізікі. Апошняя вывучала ўзаемадзеянне паміж сабой матэрыяльных цел. Максвел жа запісаў ураўненні, якім павінна падпарадкоўвацца асяроддзе, якое вызначае ўзаемадзеянне зарадаў і токаў і існуе нават у іх адсутнасць.

Аналізуючы вядомыя эксперыменты, Максвел атрымаў сістэму ўраўненняў для электрычнага і магнітнага палёў. У 1855 годзе ў сваім самым першым артыкуле «Аб фарадэевых сілавых лініях»Максвелл Дж. К. «О фарадеевых силовых линиях» у кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 11—88. — 687 с. («On Faraday’s Lines of Force») ён упершыню запісаў у дыферэнцыяльнай форме сістэму ўраўненняў электрадынамікі, але не ўводзячы яшчэ ток зрушэння. Такая сістэма ўраўненняў апісвала ўсе вядомыя на той час эксперыментальныя дадзеныя, але не дазваляла звязаць паміж сабой зарады і токі і прадказаць электрамагнітныя хвалі. Упершыню ток зрушэння быў ​​уведзены Максвелам у працы «Аб фізічных сілавых лініях»Максвелл Дж. К. «О физических силовых линиях» у кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 107—177. — 687 с. («On Physical Lines of Force»), якая складаецца з чатырох частак і была апублікавана ў 1861—1862 гадах. Абагульняючы закон Ампера, Максвел ўводзіць ток зрушэння, імаверна, каб звязаць токі і зарады ўраўненнем непарыўнасці, якое ўжо было вядома для іншых фізічных велічынь. Такім чынам, у гэтым артыкуле фактычна была завершана фармулёўка поўнай сістэмы ўраўненняў электрадынамікі. У артыкуле 1864 «Дынамічная тэорыя электрамагнітнага поля»Максвелл Дж. К. «Динамическая теория электромагнитного поля» ў кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 251—316. — 687 с. («A dynamical theory of the electromagnetic field») разгледжана сфармуляваная раней сістэма ўраўненняў з 20 скалярных ураўненняў для 20 скалярных невядомых. У гэтым артыкуле Максвел ўпершыню сфармуляваў паняцце электрамагнітнага поля як фізічнай рэальнасці, якая мае ўласную энергію і канечны час распаўсюджвання, які і вызначае з’яву запазнення ​​электрамагнітнага ўзаемадзеяння.

Аказалася, што не толькі ток, але электрычнае поле, якое змяняецца з часам, (ток зрушэння) спараджае магнітнае поле. У сваю чаргу, згодна з законам Фарадэя, пераменнае магнітнае поле зноў спараджае электрычнае. У выніку, у пустой прасторы можа распаўсюджвацца электрамагнітная хваля. З ураўненняў Максвела вынікала, што яе хуткасць роўная хуткасці святла, таму Максвел зрабіў выснову аб электрамагнітнай прыродзе святла.

Частка фізікаў выступіла супраць тэорыі Максвела (асабліва шмат пярэчанняў выклікала канцэпцыя току зрушэння). Гельмгольц прапанаваў сваю тэорыю, кампрамісную ў адносінах да мадэлей Вебера і Максвела, і даручыў свайму вучню Генрыху Герцу правесці яе эксперыментальную праверку. Аднак вопыты Герца адназначна пацвердзілі слушнасць тэорыі Максвел

Максвел не ўжываў вектарных абазначэнняў і запісваў свае ўраўненні ў досыць грувасткім кампанентным выглядзе. У сваім трактаце Maxwell J. C. A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873 ён, акрамя таго, часткова выкарыстаў кватэрніённую фармулёўку. Сучасная форма ўраўненняў Максвела з’явілася каля 1884 пасля работ Хэвісайда, Герца і Гібса. Яны не толькі перапісалі сістэму Максвела ў вектарным выглядзе, але і сіметрызавалі яе, перафармуляваўшы ў тэрмінах поля і пазбавіўшыся ад электрычнага і магнітнага патэнцыялаў, істотных у тэорыі Максвела, бо лічылі, што гэтыя функцыі з’яўляюцца толькі непатрэбнымі дапаможнымі матэматычнымі абстракцыямі. Цікава, што сучасная фізіка падтрымлівае Максвела, але не падзяляе негатыўнае стаўленне яго ранніх паслядоўнікаў да патэнцыялаў. Электрамагнітны патэнцыял выконвае важную ролю ў квантавай фізіцы і праяўляецца як фізічна вымяраемая велічыня ў некаторых эксперыментах, напрыклад, у эфекце Ааронава — Бома.

Сістэма ўраўнанняў у фармулёўцы Герца і Хэвісайда некаторы час называлася ўраўненнямі Герца — ХэвісайдаNahin P. J. Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age. — JHU Press. — pp. 108—112. — ISBN 978-0-8018-6909-9. Эйнштэйн у класічным артыкуле «Да электрадынамікі цел у руху» Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. — 1905. — Bd 17. — S. 891. Пераклад на рускую мову: Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел назваў іх ураўненнямі Максвела — Герца. Часам у літаратуры сустракаецца таксама назва ўраўненні Максвела — Хэвісайда.

Ураўненні Максвела адыгралі важную ролю пры ўзнікненні спецыяльнай тэорыі адноснасці (СТА). Джозэф Лармор (1900)Larmor J. Aether and matter. — Cambridge. — 1900. — p. 162—193. і незалежна ад яго Хендрык Лорэнц (1904 год)Lorentz H. A. Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity Smaller than that of Light. — Amst. Proc. — V. 6. — P. 809; 1904. — V. 12. — P. 986. знайшлі пераўтварэнні каардынат, часу і электрамагнітных палёў, якія пакідаюць ўраўненні Максвелла інварыянтнымі пры пераходзе ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да іншай. Гэтыя пераўтварэнні адрозніваліся ад пераўтварэнняў Галілея класічнай механікі і, з падачы Анры ПуанкарэPoincare H. Sur la dynainique de l’electron. — Comptes Rendues, Acad. Sci. — Paris. — 1905. — V. 140. — P. 1504., сталі называцца пераўтварэннямі Лорэнца. Яны сталі матэматычным падмуркам спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Распаўсюджванне электрамагнітных хваль з хуткасцю святла першапачаткова тлумачылася як ўзбурэнне (хваляванне) некаторага асяроддзя, так званага эфіруПаули В. Теория Относительности. — М.: Наука. — С. 13-17.. Рабіліся шматлікія спробы выявіць рух Зямлі адносна эфіру, аднак яны нязменна давалі адмоўны вынік. Таму Анры Пуанкарэ выказаў гіпотэзу аб прынцыповай немагчымасці выявіць падобны рух (прынцып адноснасці). Яму ж належыць пастулат аб незалежнасці хуткасці святла ад хуткасці яго крыніцы і вывад (разам з Лорэнцам), зыходзячы са сфармуляванага так прынцыпу адноснасці, дакладнага выгляду пераўтварэнняў Лорэнца (пры гэтым былі паказаны і групавыя ўласцівасці гэтых пераўтварэнняў). Гэтыя дзве гіпотэзы (пастулаты) ляглі і ў аснову артыкула Альберта Эйнштэйна (1905 год). З іх дапамогай ён таксама вывеў пераўтварэнні Лорэнца і зацвердзіў іх агульнафізічны сэнс, асабліва падкрэсліўшы магчымасць іх прымянення для пераходу з любой інерцыяльных сістэм адліку ў любую іншую інерцыяльную. Гэта праца фактычна адзначыла сабой пабудову спецыяльнай тэорыі адноснасці. У СТА пераўтварэнні Лорэнца адлюстроўваюць агульныя ўласцівасці прасторы і часу, а мадэль эфіру аказваецца непатрэбнай. Электрамагнітныя палі з’яўляюцца самастойнымі аб’ектамі, існуючымі нароўні з матэрыяльнымі часціцамі.

Класічная электрадынаміка, заснаваная на ўраўненнях Максвелла, ляжыць у аснове шматлікіх прыкладанняў электра- і радыётэхнікі, ЗВЧ і оптыкі. На сённяшні дзень не выяўлена ні аднаго эфекту, які патрабаваў бы перайначвання ўраўненняў. Яны аказваюцца дастасавальнымі і ў квантавай механіцы, калі разглядаецца рух, напрыклад, зараджаных часціц ў знешніх электрамагнітных палях. Таму ўраўненні Максвелла з’яўляюцца асновай мікраскапічнага апісання электрамагнітных уласцівасцей рэчыва.

Ураўненні Максвелла запатрабаваныя таксама ў астрафізіцы і касмалогіі, бо многія планеты і зоркі маюць магнітнае поле. Магнітнае поле вызначае, у прыватнасці, ўласцівасці такіх аб’ектаў, як пульсары і квазары.

На сучасным узроўні разумення ўсё фундаментальныя часціцы з’яўляюцца квантавымі ўзбуджэннямі («квантамі») розных палёў. Напрыклад, фатон — гэта квант электрамагнітнага поля, а электрон — квант спінарнага поляБерестецкий, В. Б., Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0. Таму палявы падыход, прапанаваны Фарадэем і істотна развіты Максвелам, з’яўляецца асновай сучаснай фізікі фундаментальных часціц, у тым ліку яе стандартнай мадэлі.