У матэматыцы бэта-функцыяй (Β-функцыяй, бэта-функцыяй Эйлера або Эйлеравым інтэгралам I-га роду) называецца наступная спецыяльная функцыя ад двух зменных:
вызначаная пры
Бэта-функцыя была даследавана Эйлерам і Лежандрам, А назву ёй даў Жак Бінэ.
Уласцівасці
Бэта-функцыя сіметрычная адносна перастаноўкі зменных, гэта значыць
Бэта-функцыю можна выразіць праз іншыя функцыі:
дзе — гама-функцыя;
дзе — сыходны фактарыял, роўны
Як гама-функцыя для цэлых лікаў з’яўляецца абагульненнем фактарыяла, так і бэта-функцыя з’яўляецца абагульненнем бінаміяльных каэфіцыентаў з трохі змененымі параметрамі:
Вытворныя
Частковыя вытворныя у бэта-функцыі наступныя:
дзе — дыгама-функцыя.
Няпоўная бэта-функцыя
Няпоўная бэта-функцыя — гэта абагульненне бэта-функцыі, якое замяняе інтэграл па адрэзку на інтэграл з пераменнай верхняй мяжой:
Пры няпоўная бэта-функцыя супадае з поўнай.
Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя
Рэгулярызаваная няпоўная бэта-функцыя вызначаецца праз поўную і няпоўную бэта-функцыі:
Уласцівасці рэгулярызаванай няпоўнай бэта-функцыі:
Гл. таксама Гама-функцыя
Літаратура
Спасылкі
Катэгорыя:Спецыяльныя функцыі