Нармальная падгрупа (таксама інварыянтная падгрупа) — падгрупа адмысловага тыпу, левы і правы сумежныя класы па якой супадаюць. Такія групы важныя, паколькі дазваляюць будаваць фактаргрупу.
Азначэнні
Падгрупа групы называецца нармальнай, калі яна інварыянтная адносна спалучэнняў, гэта значыць для любога элемента з і любога з , элемент ляжыць у :
Наступныя ўмовы нармальнасці падгрупы эквівалентныя:
Для любога з , . Для любога з , . Мноствы левых і правых сумежных класаў у супадаюць. Для любога из , . ізаморфныя аб'яднанню класаў спалучаных элементаў.
Умова (1) лагічна слабей, чым (2), а ўмова (3) лагічна слабей, чым (4). Таму ўмовы (1) і (3) часта выкарыстоўваюцца пры доказе нармальнасці падгрупы, а ўмовы (2) і (4) выкарыстоўваюцца для доказу следстваў нармальнасці.
Прыклады
і — заўсёды нармальныя падгрупы . Яны называюцца трывіяльнымі. Калі іншых нармальных падгруп няма, то група называецца простай. Цэнтр групы — нармальная падгрупа. Камутант групы — нармальная падгрупа . Любая характарыстычная падгрупа нармальная, так як спалучэнне — гэта заўсёды аўтамарфізм. Усе падгрупы абелевай групы G нармальныя, так як . Неабелева група, у якой любая падгрупа нармальная, называецца гамільтанавай. Група паралельных пераносаў ў прасторы любой размернасці — нармальная падгрупа эўклідавай групы; напрыклад, у трохмернай прасторы паварот, зрух і паварот у адваротны бок прыводзіць да простага зруху. У групе кубіка Рубіка падгрупа, якая складаецца з аперацый, якія дзейнічаюць толькі на вуглавыя элементы, нармальная, так як ніякае спалучанае пераўтварэнне не прымусіць такую аперацыю дзейнічаць на краёвы, а не вуглавы элемент. Наадварот, падгрупа, якая складаецца толькі з паваротаў верхняй грані, не нармальная, так як спалучэнні дазваляюць перамясціць частцы верхняй грані ўніз.
Уласцівасці
Нармальнасць захоўваецца пры сюр'ектыўных гомамарфізмах і узяцці зваротных вобразаў. Ядро гомамарфізму — нармальная падгрупа. Нармальнасць захоўваецца пры пабудове прамога здабытку. Нармальная падгрупа нармальнай падгрупы не абавязаная быць нармальнай у групе, г. зн. нармальнасць не транзітыўная. Аднак характарыстычная падгрупа нармальнай падгрупы нармальная. Кожная падгрупа індэкса 2 нармальная. Калі — найменшы просты дзельнік парадку , то любая падгрупа індэкса нармальная. Калі — нармальная падгрупа ў , то на мностве левых (правых) сумежных класаў можна ўвесці групавую структуру па правілу
Атрыманае мноства называецца фактаргрупай па .
N нармальная тады і толькі тады, калі яна трывіяльна дзейнічае на левых сумежных класах .
Гістарычныя факты
Эварыст Галуа першым зразумеў важнасць нармальных падгруп.
Гл. таксама
Група Падгрупа Прамы здабытак
Спасылкі Винберг Э. Б. Курс алгебры — :Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
Катэгорыя:Тэорыя груп