В алгебрата, полилинейната алгебра или многолинейна алгебра е екстензия на линейната алгебра, изучаваща полилинейни модули (виж също пръстенови модули и псевдопръстен в аналитичната алгебра и математическият анализ) и подлежащите им функции и изображения на няколко променливи.
Линейната алгебра е построена на концепцията за вектор и се развива върху теорията за векторните пространства, многолинейната алгебра надстроява, използвайки концепцията за p-вектора, p-векторни пространство (виж още Грасманова алгебра или още екстериорна алгебра)
Името произлиза от определението на полилинейните изображения, т.е. това са функции, линейни по всяка една от променливите си. В Грасмановата алгебра това са билинейните, полиуспоредните и квадратични форми, или дори 3D векторни фигури.
Основна роля в полилинейната алгебра за математическия анализ играят тензорното произведение, тензорите върху векторни пространства.
Основни понятия Нека са -модули, където е комутативен пръстен с единица. Нека е изображение от декартовото произведение върху . Изображението ще наричаме полилинейно изображение ако е изпълнено
Основна задача в мултилинейната алгебра е изучаването на полилинейни изображения да се сведе до изучаване на линейни изображения. При дадени и и някое полилинейно изображение , да се намери единствен хомоморфизъм , такъв че: . Тогава записваме и . Произведението наричаме тензорно произведение на относно .
В геометрията
В някои аспекти полилинейната алгебра е вид геометрична алгебра. В математиката геометрична алгебра (geometric algebra, GA) на векторно пространство (space) е алгебра над математическо поле.
Виж още
Хиперкомплексни числа
Литература
Маклейн, С., Биркхоф, Г. (1974) Съвременна алгебра, София, Наука и изкуство. Кострикин, А., Манин, Ю. (1990) Линейна алгебра и геометрия, София, Наука и изкуство. Hermann Grassmann (2000) Extension Theory, American Mathematical Society. Translation by Lloyd Kannenberg of the 1862 Ausdehnungslehre. Fleming, Wendell H. (1977). Exterior algebra and differential calculus. Functions of several variables (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90206-6. OCLC 2401829.
Категория:Алгебра