Магически квадрат в математиката и комбинаториката се нарича таблица n×n (с n на брой клетки във всеки ред и колона), запълнена с n² естествени числа (1, 2, 3, … n²), присъстващи само по веднъж, по такъв начин, че всеки ред, колона, както и двата диагонала, да правят една и съща сума (наричана „магическа константа“). Според четността на страната му n магическите квадрати се делят на четни и нечетни. Магическият квадрат е частен случай на латинския квадрат.
История Най-старото описание на магически квадрат идва от Древен Китай, датирано е около 80 г. пр.Хр., но вероятно задачата е от много преди това. Пъзелът се нарича „хау ту“ и се състои от клетки в квадрат 3×3, запълнени с числата от 1 до 9, като сборът от всеки три числа в един ред, колонка или диагонал е точно 15.Магически квадрат – Читател
Изображения на магически квадрати са намирани и в Индия, като най-старите са отнесени към 1 век. Популярни за индуските паметници са квадратите 4×4, където магическата константа е 34.
Свойства Главното свойство на магическия квадрат без значение от неговата големината е еднаквата сума на числата в редовете, колоните и диагоналите. Това свойство се запазва и при следните действия: Завъртането около центъра. Хоризонтално, вертикално или диагонално обръщане. Добавянето на, изваждането от или умножението с произволно число.
Вариантите за магически квадрат със страна n равна на 1, 2, 3, 4 и 5 (без завъртания и обръщания) са съответно 1, 0, 1, 880, 275 305 224 (последователност A006052 в OEIS). Не съществува магически квадрат със страна 2. Вариантите за магически квадрат със страна 6 се изчисляват приблизително на 1,7745×1019.Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo
Магическа константа Магическата константа е сумата на числата във всеки ред, колона и диагонал на магическия квадрат. Нейната стойност се изчислява по формулата , където n е страната на магическия квадрат.
3×3 Има само един начин за подредба на числата от 1 до 9 в квадрат 3×3, като чрез завъртане (4 варианта) и огледалните им варианти (по 2) дават общото количество от 8 варианта. Числото 5 винаги е в средата, като така участва в средните колона и ред, както и в двата диагонала. Останалите по четири броя числа по-малки и по-големи от 5, взаимно се компенсират, за да се получи сумата 15 (1 с 9, 2 с 8, 3 със 7, 4 с 6).
8 1 6 3 5 7 4 9 2
4 3 8 9 5 1 2 7 6
2 9 4 7 5 3 6 1 8
6 7 2 1 5 9 8 3 4
4 9 2 3 5 7 8 1 6
2 7 6 9 5 1 4 3 8
6 1 8 7 5 3 2 9 4
8 3 4 1 5 9 6 7 2
4×4 2 16 13 3 11 5 8 10 7 9 12 6 14 4 1 15
При магическия квадрат 4×4 магическата константа е 34, като числата във всеки съставящ го подквадрат 2×2, както и в централния квадрат 2×2, отново имат сума 34. Също и сборът от четирите ъглови клетки е 34.
Приноси
Албрехт Дюрер (1471 – 1528) в гравюрата си „Меланхолия I“ рисува магически квадрат 4×4, който съдържа в двете долни полета „1514“ – годината, когато е създадена творбата. Двете крайни долни полета 4 и 1 се свързват с инициалите на Албрехт Дюрер – 4-тата и първата буква „D“ и „A“. Това е най-старата запазена творба в европейското изкуство, съдържаща магически квадрат. Квадратът е свързан с Юпитер и целта му е да победи меланхолията.
Върху една от фасадите на Саграда Фамилия в Барселона, концептуализирана от Антони Гауди (1852 – 1926), има вариант на магически квадрат 4×4. Квадратът е хоризонтално и вертикално обърнато копие на „Меланхолия I“ на Дюрер, на който от 4 клетки е извадено 1, за да може магическата константа да е 33 - Христовата възраст.
Галерия
Вижте също Питагоров триъгълник
Източници
Категория:Комбинаторика