Неприводим случай (от латински Casus irreducibilis – „Казус иредуцибилис“) е ситуация, която може да възникне при решаване на кубично уравнение с целочислени коефициенти, когато корените му са изразени като радикали. Неприводимият случай е кубично уравнение в каноничен вид . Каноничният вид на кубичното уравнение е основен, тъй като всяко произволно уравнение може да бъде редуцирано до него чрез заместването По-конкретно, ако кубичен многочлен е неприводимНеприводим многочлен е този, който не може да се разложи в произведение от многочлени. върху рационални числа и има три реални корена, тогава изразяването на корените чрез радикали изисква комплекснозначни изрази, дори ако получените стойности на изразите са реални. Това е доказано през 1843 г. от Пиер-Лоран Ванцел (1814 – 1848) – френски математик, известен с доказателствата си за неразрешимостта на древните проблеми за удвояване на куба и трисекция на ъгъл.
Като цяло, при разглеждането на неприводим случай кубичното уравнение в каноничен вид има три различни реални корена когато изразът
В тази ситуация известната формула на Кардано в оригиналния си вид е неприложима, тъй като изисква извличане на квадратен корен от Q.
Връзка с трисекция на ъгъл Разграничението между редуцируеми и неприводими случаи с три реални корена е свързано с възможността или невъзможността за разделяне на ъгъл с рационален синус или косинус на три равни части, използвайки класическата конструкция с пергел и линийка. Ако е известно, че косинусът на ъгъл θ има определена рационална стойност, тогава една трета от този ъгъл има косинус, който е един от трите корена на уравнението
По подобен начин, ако е известно, че синусът на ъгъл θ има определена рационална стойност, тогава една трета от този ъгъл има синус, който е един от трите корена на уравнението
И в двата случая, ако теоремата за рационалния корен позволява да се получи рационален корен на уравнението, или минус този корен може да бъде извлечен от полинома от лявата страна на уравнението, оставяйки квадратно уравнение, което може да бъде решено, за да се получат останалите два корена. Тогава всички тези корени са получени чрез класическата конструкция, тъй като могат да бъдат изразени чрез квадратни корени, така че или са конструктивно построими, а след това съответният ъгъл също е конструктивно построим. От друга страна, ако теоремата за рационалните корени показва, че няма рационални корени, тогава имаме неприводим случай, или не може да бъде построен, ъгълът не може да бъде построен и трисекцията на ъгъл θ не може да бъде получена чрез класически методи.
Източници и бележки
Категория:Абстрактна алгебра Категория:Полиноми