Апроксимация (приближение) е математически термин, с който се означава замяната на едни математически обекти с други, по-прости, но същевременно близки в някакъв смисъл до изходните. Целта на апроксимацията е да се сведе изследването на различни (неизвестни или изключително сложни) числови характеристики и качествени свойства на първоначалните обекти до работа с други обекти, чиито характеристики и свойства са вече познати или по-удобни за работа. Различни дялове на математиката имат отношение към апроксимацията, като например: числени методи и функционален анализ, които се занимават с апроксимация на функции (най-честата употреба на термина); геометрия и топология, в които се разглежда апроксимацията на криви, повърхнини, пространства и изображения; теория на числата, където класически пример е апроксимацията на ирационални числа с рационални (т.нар. Диофантово приближение).Физико-математическа и техническа енциклопедия, том 1, Издателство на БАН, София, 1990
Апроксимиране на реалните числа с рационални Теорема 1. Нека е реално число, а – естествено. Тогава съществуват цели числа и , за които и
За произволно реално да означим с най-голямото измежду целите числа . Така например, , . От това определение става ясно, че е цяло число и че .
Да разгледаме числата . Те са на брой и лежат в интервала . Разделяме последния интервал на равни подинтервала всеки от които има дължина . От принципа на Дирихле следва, че съществуват две различни цели числа и между и , за които числата и принадлежат на един и същи интервал . Следователно разстоянието между тях няма да надминава , т.е.
или, което е същото ,
Тъй като , без ограничение на общността може да се предположи, че . Освен това, , , следователно . Да положим и . Тогава и са цели числа и са в сила неравенствата . При тези означения добива вида , откъдето след деление на двете страни с се получава . От доказаното може да се получи като следствие Теорема 2.
Теорема 2. За всяко реално число съществуват безбройно много естествени числа , за всяко от които съществува цяло число за което е в сила неравенството Принцип на Дирихле, Иван Проданов, Издателство „Народна просвета“, София, 1975 г.
Източници
Категория:Числени методи Категория:Функционален анализ