Za članak o gama funkciji ordinala, pogledajte Veblenova funkcija. mini|desno|325px|Gama funkcija duž dijela realne ose
U matematici, gama funkcija (označena velikim grčkim slovom Γ) je proširenje faktorijelske funkcije u realne i kompleksne brojeve. Za kompleksan broj z sa pozitivnim realnim dijelom, gama funkcija je definisana sa
Ova definicija može se proširiti na ostatak kompleksne ravni, osim u negativne cijele brojeve.
Ako je n pozitivni cijeli broj, tada je
što pokazuje vezu sa faktorijelskom funkcijom. Gama funkcija uopćuje faktorijelsku funkciju za ne-cijele i kompleksne vrijednosti od n.
Gama funkcija je komponeneta u raznim funkcijama raspodjele vjerovatnoća, i tako takva je primjeljiva u oblastima vjerovatnoće i statistike, kao i kombinatorike.
Definicija
Glavna definicija
mini|desno|Proširena verzija gama funkcije u kompleksnoj ravni
Oznaku Γ(z) uveo je Adrien-Marie Legendre. Ako je realni dio kompleksnog broja z pozitivan (Re[z] > 0), tada cijeli broj
konvergira apsolutno. Koristeći integraciju po članovima, može se pokazati da je
Ova funkcionalna jednačina uopćuje relaciju n! = n×(n-1)! faktorijelske funkcije. Γ(1) izračunavamo analitički:
Kombinujući ove dvije relacije pokazuje nam kako je faktorijelska funkcija spacijalni slučaj gama funkcije:
za sve prirodne brojeve n.
Partikularne vrijednosti
Također pogledajte
Beta funkcija Bohr-Mollerupov teorem Digama funkcija Eliptična gama funkcija Faktorijel Gama distribucija Gaussova konstanta Gaussova suma Nepotpuna gama funkcija Lanczosova aproksimacija Multivarijantna gama funkcija Pochhammerov k-simbol Poligama funkcija Recipročna gama funkcija Stirlingova aproksimacija Trigama funkcija
Zabilješke
Reference
Philip J. Davis, "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function," Am. Math. Monthly 66, 849-869 (1959) Pascal Sebah and Xavier Gourdon. Introduction to the Gamma Function. In PostScript and HTML formats. Bruno Haible & Thomas Papanikolaou. Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. Technical Report No. TI-7/97, Darmstadt University of Technology, 1997 Julian Havil, Gamma, Exploring Euler's Constant", (c) 2003 Emil Artin, "The Gamma function", in Rosen, Michael (ed.) Exposition by Emil Artin: a selection; History of Mathematics 30. Providence, RI: American Mathematical Society (2006).
Vanjski linkovi
Internet stranice
Cephes - C and C++ language special functions math library Examples of problems involving the Gamma function can be found at Exampleproblems.com. Gamma function calculator Wolfram gamma function evaluator (arbitrary precision) Volume of n-Spheres and the Gamma Function at MathPages Computing the Gamma function - various algorithms Online tool to graph functions which contain the Gamma function
Dalje čitanje
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 6) G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.) Harry Hochstadt. The Functions of Mathematical Physics. New York: Dover, 1986 (See Chapter 3.) W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, and W.T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Section 6.1.)''
Kategorija:Posebne hipergeometrijske funkcije