thumb|right|Savijanje I-profila
Savijanje (ili fleksija) opisuje ponašanje vitkih konstrukcijskih elemenata, opterećenih vanjskim silama okomito ili uzdužno na osu elementa. Opterećenje koje djeluje na konstrukciju je moment savijanja, a to je sila koja djeluje na nekoj udaljenosti od posmatranog uklještenja (krak):
gdje je: - moment savijanja (Nm) - sila koja savija (N) - udaljenost sile od ukliještenja (m)
Pretpostavlja se da konstrukcioni element ima barem jednu od dimenzija dosta manju (obično 1/10, ili manje, od druge dvije).Boresi, A. P. and Schmidt, R. J. and Sidebottom, O. M., 1993, Advanced mechanics of materials, John Wiley and Sons, New York. Kada je dužina elementa dosta veća od širine i debljine, element se naziva greda. Šipke za vješalice u ormaru se ugibaju pod težinom gardarobe koja visi na njima i primjer je savijanja u svakodnevnici. S druge strane, ljuska je struktura bilo koje geometrijske forme gdje su dužina i širina istog reda veličine, ali debljina konstrukcije (poznata kao "zid") znatno je manja. Primjer ljuske koja trpi savijanje jeste kratka cijev tankih zidova, ali velikog prečnika, koja je ukliještena na krajevima, a opterećena bočno.
U nedostatku uvjeta, termin "savijanje" je dvosmislen jer može doći do lokalnog savijanja u svim objektima. Stoga, da bi korištenje termina bilo preciznije, inženjeri ga koriste za određene objekte, kao što su savijanje greda, savijanje šipki,Libai, A. and Simmonds, J. G., 1998, The nonlinear theory of elastic shells, Cambridge University Press. savijanje ljuski, savijanje pločaStephen Timoshenko and Woinowsky-Krieger, S., 1959, Theory of plates and shells, McGraw-Hill. itd.
Kvazistatičko savijanje greda Kad je opterećena transverzalnim naponom, greda se deformira i naponi se razvijaju unutar nje. U kvazistatičkom slučaju veličina kraka savijanja i naponi koji se razvijaju smatraju se nepromjenljivim u vremenu. U horizontalnoj gredi ukliještenoj na krajevima i opterećenoj nadolje u sredini materijal na unutrašnjoj strani grede je pritisnut, a materijal na vanjskoj strani je zategnut. Postoje dva oblika unutrašnjeg naprezanja uzrokovanih vanjskim opterećenjima: Napon smicanja paralelan bočnim operećenjem plus dopunski napon smicanja u ravnima pod pravim uglom na pravac opterećenja; Direktan napon pritiska u gornjem području grede i direktni napon zatezanja u donjem području grede.
Posljednje dvije sile čine spreg sila ili moment jer su jednake po veličini i suprotnog su smjera. Ovaj moment savijanja opire se ulegnutoj deformaciji grede koja trpi savijanje. Naponska raspodjela grede može se predvidjeti sasvim precizno, čak i kad se koriste neke pojednostavljene pretpostavke.
Euler-Bernoullijeva teorija savijanja thumb|360px|Element savijene grede: vlakna čine koncentrične lukove, na vrhu su vlakna pritisnuta, a na dnu zategnuta. thumb|360px|Momenti savijanja kod grede
Kod Euler-Bernoullijeve teorije savijanja vitkih greda, glavna pretpostavka je da 'ravne sekcije ostaju ravne'. Drugim riječima, bilo kakva deformacija usljed smicanja preko odjeljka se ne evidentira (kao da nema smicanja). Također, ova linearna raspodjela je primjenljiva samo ako je maksimalni napon manji od napona tečenja materijala. Za napone koji prelaze granicu tečenja, pogledajte članak plastično savijanje. Na granici tečenja, maksimalni napon u dijelu (na najudaljenijim tačkama od neutralne ose grede) definira se kao savojna čvrstoća.
Euler-Bernoullijeva jednačina za kvazistatičko savijanje vitkih, izotropnih, homogenih greda konstantnog presjeka pod primjenom poprečnog opterećenja je:
gdje je: - Youngov modul elastičnosti, - površinski moment inercije poprečnog presjeka, - otklon od neutralne ose grede.
Nakon što je rješenje za izmještanje grede dobijeno, moment savijanja () i poprečna sila () u gredi mogu se izračunati pomoću odnosa:
Jednostavno savijanje grede se često analizira s Euler-Bernoullijevom jednačinom grede. Uvjeti za korištenje jednostavne teorije savijanja su:Shigley J, "Mechanical Engineering Design", p44, International Edition, pub McGraw Hill, 1986, Greda je predmet čistog savijanja. To znači da su poprečne sile jednake nuli, a da nema uvojnog ili aksijalnog opterećenja. Materijal je izotropan i homogen. Materijal ispunjava Hookeov zakon (linearno je elastičan i neće se plastično deformisati). Greda je u početnom trenutku ravna sa presjekom koji je konstantan cijelom dužinom. Greda ima osu simetrije u ravni savijanja. Proporcije grede su takve da će se prije prekinuti savijanjem nego drobljenjem, gužvanjem ili bočnim izvijanjem. Presjeci grede ostaju ravni prilikom savijanja.
thumb|400px|Otklon grede skrenut simetrično i princip superpozicije. Pritisne i zatezne sile se razvijaju u smjeru ose grede pod savojnim opterećenjima. Te snage izazivaju naprezanja grede. Najveći napon pritiska se nalazi se nalazi na gornjem rubu grede, dok se maksimalna sila istezanja nalazi na donjem rubu grede. Pošto naponi između ovih dviju suprotnih strana variraju linearno, postoji tačka na linearnom putu između njih gdje nema napona savijanja. Položaj ovih tačaka se naziva neutralna osa. Zbog ovog područja bez napona i susjednih područja sa niskim naponom, koristeći jedinstven presjek grede na savijanje nije posebno efikasno sredstvo podržavanja opterećenja, jer se ne koristi puni kapacitet grede dok je na ivici kolapsa. Široko-prirubne grede (I-profil) i rešetkasti nosači efikasno rješavaju ovu neefikasnost jer minimiziraju količinu materijala u ovoj podnaponskoj regiji.
Klasična formula za određivanje napona savijanja u gredi rpri jednostavnom savijanju je:Gere, J. M. and Timoshenko, S.P., 1997, Mechanics of Materials, PWS Publishing Company.
gdje je - napon savijanja M - moment savijanja oko neutralne ose y - normalna udaljenost do neutralne ose Ix - drugi momenta površine oko neutralne ose 'x'.
Proširenja Euler-Bernoullijeve teorije savijanja grede
Plastično savijanje Jednačina važi jedino kada je napon u ekstremnim vlaknima (najudaljeniji dio grede od neutralne ose) ispod granice razvlačenja materijala od kojeg je greda napravljena. Pri većim opterećenjima distribucija napona postaje nelinearna, i duktilni materijali će na kraju ući u 'plastično tečenje', stanje gdje je veličina napona jednaka naponu tečenja svuda u gredi, uz prekid u neutralnoj osi, gdje se mijenja napon od zatezanja do pritiska. Ovo stanje plastičnog tečenja se obično koristi kao granični uvjet kod dizajniranja metalnih konstrukcija.
Složeno ili asimetrično savijanje Jednačina iznad vrijedi samo ako je presjek simetričan. Za homogene grede s asimetričnim dijelovima, aksijalni napon u gredi je dat sa:
Cook and Young, 1995, Advanced Mechanics of Materials, Macmillan Publishing Company: New York
gdje su koordinate tačke na poprečnom presjeku na kojima je napon potrebno odrediti kao što je prikazano desno, i su momenti savijanja oko y i z težišnih osa, i su drugi momenti površine (razlikuju se od momenata inercije) oko y i z osa, a je proizvod momenata površine. Koristeći jednačinu moguće je izračunati napon savijanja na bilo kojoj tački poprečnog presjeka grede bez obzira na smjer momenta ili oblika poprečnog presjeka. Napomena: se ne mijenjaju od jedne tačke do druge na poprečnom presjeku.
Velika deformacija savijanja thumb Za velike deformacije tijela, napon u poprečnom presjeku se izračunava primjenom proširene verzije ove formule. Prvo, slijedeće pretpostavke moraju biti:
Pretpostavka ravnih pregrada - prije i poslije deformacije se smatra dio tijela ostaje ravnim (tj. nije se kovitlao). Smicanje i normalni naponi u ovom dijelu koji su okomiti na vektor normale presjeka nemaju nikakav utjecaj na napone koji su paralelni sa osom ovog dijela.
Razmatranje velikog savijanja treba biti provedeno kada je prečnik savijanja manji od deset visina odjeljka h:
Uz te pretpostavke napon kod velikih savijanja se računa kao:
gdje su: - normalna sila - površina poprečnog presjeka - moment savijanja - lokalni prečnik savijanja (na trenutnom dijelu) - moment površine inercije duž x-ose, na mjestu (pogledati Steinerovu teoremu) - pozicija duž y-ose na dijelu površine gdje je napon izračunat.
Kada prečnik teži u beskonačno i , prvobitna formula se vraća: .
Timoshenkova teorija savijanja thumb|200px|Deformisanje Timoshenkove grede. Normala rotira za ugao koji nije jednak . 1921, Stephen Timosenko je poboljšao Euler-Bernoullijevu teoriju greda dodavanjem efekta smicanja unutar jednačine grede. Kinematske pretpostavke Timoshenkove teorije su: normale na ose grede ostaju ravne nakon deformacije nema promjene u debljini grede nakon deformacije Međutim, normale na ose ne moraju ostati okomite na ose nakon deformacije.
Jednačina za kvazistatičko savijanje linearno elastične, izotropne, homogene grede konstantnog poprečnog presjeka grede pod ovim pretpostavkama je
gdje je - površinski moment inercije poprečnog presjeka, - površina poprečnog presjeka, - modul klizanja i - faktor korekcije klizanja/smicanja. Za materijale sa Poissonovim koeficijentom () blizu 0,3 - faktor korekcije za pravougaoni poprečni presjek je približno:
Rotacija () normale je opisana izrazom:
Moment savijanja () i sila smicanja () su dati preko sljedećih formula:
Dinamičko savijanje greda Dinamičko savijanje greda,Han, S. M, Benaroya, H. and Wei, T., 1999, "Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories," Journal of Sound and Vibration, vol. 226, no. 5, pp. 935-988. također poznato i kao fleksiono vibriranje greda, prvi put je istraživao Daniel Bernoulli krajem 18. vijeka. Bernoullijeva jednačina kretanja vibrirajuće grede je težila da precjenjuje prirodne frekvencije greda i bila je poboljšana marginalno od strane Rayleigh-a 1877. dodavanjem rotacije srednje ravni. 1921. Stephen Timoshenko je još poboljšao teoriju dodavanjem efekta smicanja na dinamički odgovor savijanja greda. Ovo je dopustilo teoriji da bude korištena za probleme uključivanja visokih frekvencija vibracije gdje je dinamička Euler-Bernoullijeva teorija neadekvatna. Euler-Bernoullijeva i Timoshenko teorije za dinamičko savijanje greda nastavljaju da se naširoko koriste u inženjerstvu.
Euler-Bernoullijeva teorija Euler-Bernoullijeva jednačina za dinamičko savijanje vitkih, izotropnih, homogenih greda konstantnog poprečnog presjeka pod primjenom poprečnog opterećenja je:Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with Applications
gdje je: - Youngov modul elastičnosti, - površinski moment inercije poprečnog presjeka, - otklon od neutralne ose grede i m - masa po jedinici dužine grede. Slobodne vibracije Za situaciju u kojoj ne postoji poprečno opterećenje na gredu, jednačina savijanja ima oblik:
Slobodne, harmonijske vibracije grede onda mogu biti izražene kao:
a jednačina savijanja se može zapisati kao
Opće rješenje navedenih jednačina je:
gdje su konstante, a Režimni oblici za konzolne I-profilne gredethumb|225px|center|Jednostruko bočno savijanjethumb|200px|center|Jednostruko uvijanjethumb|200px|center|Jednostruko vertikalno savijanjethumb|200px|center|Dvostruko bočno savijanjethumb|200px|center|Dvostruko uvijanjethumb|200px|center|Dvostruko vertikalno savijanje
Timoshenko-Rayleighova teorija 1877, Rayleigh je predložio poboljšanje za dinamičku Euler-Bernoullijevu teoriju greda uključujući efekt rotacije inercije poprečnog presjeka grede. Timoshenko je poboljšao osnovu te teorije 1922. dodavanjem efekta smicanja u jednačini grede. Smična deformacija normalna na sredinu površine grede je dozvoljena u Timoshenko-Rayleigh teoriji.
Jednačina za savijanje linearne elastične, izotropne, homogene grede konstantnog poprečnog presjeka grede pod ovim pretpostavkama je:Rosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko's correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461-1466.