U nuklearnoj fizici, Batemanova jednačina je matematički model koji opisuje količine i aktivnosti u lancu raspada kao funkciju vremena, na osnovu brzine raspada i početnih količina. Model je formulisao Ernest Rutherford u 1905.Rutherford, E. (1905). Radio-activity. University Press. p. 331 a analitičko rješenje je pružio Harry Bateman u 1910.Bateman, H. (1910, June). The solution of a system of differential equations occurring in the theory of radioactive transformations. In Proc. Cambridge Philos. Soc (Vol. 15, No. pt V, pp. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
Ako, u trenutku , postoje atomi izotopa koji se raspada u izotop po stopi , količina izotopa u lancu raspada -koraka evoluira kao:
(ovo se može prilagoditi za rukovanje granama raspadanja). Iako se ovo može eksplicitno riješiti za = 2, formule brzo postaju nezgrapne za duže lance. Batemanova jednačina je klasična glavna jednačina gdje su brzine prelaza dozvoljene samo od jedne vrste (i) do sljedeće (i+1), ali nikada u obrnutom smislu (i+1 do i je zabranjeno).
Bateman je pronašao opštu eksplicitnu formulu za količine koristeći Laplaceovu transformaciju varijabli.
(Također se može proširiti izvornim članovima, ako se više atoma izotopa i osigurava izvana konstantnom brzinom).
thumb| Izračunavanje količine pomoću Bateman-funkcije za plutonij-241
Iako se Batemanova formula može implementirati u računarski kod, ako Za neke izotopske parove, katastrofalno poništavanje može dovesti do računskih grešaka. Stoga se koriste i drugi metodi poput numerička integracija ili matrična eksponencijalna metoda.
Naprimjer, za jednostavan slučaj lanca od tri izotopa, odgovarajuća Batemanova jednačina se svodi na
Što daje sljedeću formulu za aktivnost izotopa (zamjenom )
Također pogledajte Harry Bateman Spisak jednačina u nuklearnoj i čestičnoj fizici Tranzijentna ravnoteža Sekularna ravnoteža Farmakokinetika, slobodna primjenjivost
Reference
Kategorija:Nuklearna fizika Kategorija:Obične diferencijalne jednačine Kategorija:Radioaktivnost