Matematički model je apstraktni i konkretni opis konkretnog sistema koji koristi matematičke koncepte i jezik matematike. Proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. Matematički modeli se koriste u mnogim oblastima, uključujući primijenjenu matematiku, prirodne i društvene nauke. i inženjering. Posebno, područje operacijskih istraživanja proučava upotrebu matematičkog modeliranja i srodnih alata za rješavanje problema u poslovnim ili vojnim operacijama. Model može pomoći u karakterizaciji sistema proučavanjem efekata različitih komponenti, koje se mogu koristiti za predviđanje ponašanja ili rješavanje specifičnih problema.
Elementi matematičkog modela
Matematički modeli mogu imati mnogo oblika, uključujući dinamičke sisteme, statističke modele, diferencijalne jednačine ili modele teorije igara. Ovi i drugi tipovi modela mogu se preklapati, pri čemu dati model uključuje različite apstraktne strukture. U mnogim slučajevima, kvalitet naučnog područja zavisi od toga koliko se dobro matematički modeli razvijeni na teorijskoj strani slažu s rezultatima ponovljivih eksperimenata. Nedostatak slaganja između teorijskih matematičkih modela i eksperimentalnih mjerenja često dovodi do važnog napretka kako se razvijaju bolje teorije. U fizičkim naukama, tradicijski matematički model sadrži većinu sljedećih elemenata: Vodeća jednačina Dopunski podmodeli Definirajuće jednačine Konstitutivna jednačine Pretpostavke i ograničenja Inicijalni i granični uslov Klasična ograničenja i kinematičke jednačine
Klasifikacije
Matematički modeli su različitih tipova: Linearno vs. nelinearno Ako svi operatori u matematičkom modelu pokazuju linearnost, rezultirajući matematički model se definiše kao linearan. Svi ostali modeli se smatraju nelinearnim. Definicija linearnosti i nelinearnosti zavisi od konteksta, a linearni modeli mogu imati nelinearne izraze u sebi. Na primjer, u statističkom linearnom modelu, pretpostavlja se da je odnos linearan u parametrima, ali može biti nelinearan u prediktorskim varijablama. Slično tome, diferencijalna jednačina se naziva linearnom ako se može napisati linearnim diferencijalnim operatorima, ali i dalje može imati nelinearne izraze u sebi. U matematičkom programiranju modelu, ako su objektivne funkcije i ograničenja u potpunosti predstavljeni linearnim jednačinama, tada se model smatra linearnim modelom. Ako je jedna ili više objektivnih funkcija ili ograničenja predstavljena nelinearnom jednačinom, tada se model naziva nelinearnim modelom.
Linearna struktura podrazumijeva da se problem može rastaviti na jednostavnije dijelove koji se mogu tretirati nezavisno ili analizirati na različitoj skali, te da će stoga rezultati ostati validni ako se početni dio prekomponuje ili preskalira.
Nelinearnost, čak i u prilično jednostavnim sistemima, često se povezuje s fenomenima kao što su haos i ireverzibilnost. Iako postoje izuzeci, nelinearni sistemi i modeli imaju tendenciju da budu teži za proučavanje od linearnih. Uobičajeni pristup nelinearnim problemima je linearizacija, ali to može biti problematično ako se pokušavaju proučavati aspekti poput ireverzibilnosti, koji su snažno povezani s nelinearnošću.
Statički vs. dinamički „Dinamički“ model uzima u obzir vremenski zavisne promjene u stanju sistema, dok „statički“ (ili stacionarni) model izračunava sistem u ravnoteži i stoga je vremenski nepromjenjiv. Dinamički modeli su obično predstavljeni diferencijalnim jednačinama ili diferencijalnim jednačinama.
Eksplicitno vs. implicitno Ako su svi ulazni parametri cjelokupnog modela poznati, a izlazni parametri se mogu izračunati konačnim nizom proračuna, model se naziva eksplicitnim. Ali ponekad su poznati izlazni parametri, a odgovarajući ulazi se moraju riješiti iterativnim postupkom, kao što je Newtonov metod ili Broydenov metod. U takvom slučaju, model se naziva implicitnim. Naprimjer, fizička svojstva mlaznog motora, kao što su površine grla turbine i mlaznice, mogu se eksplicitno izračunati na osnovu projektnog termodinamičkog ciklusa (protok zraka i goriva, pritisci i temperature) pri određenim uvjetima leta i postavkama snage, ali radni ciklusi motora pri drugim uvjetima leta i postavkama snage ne mogu se eksplicitno izračunati iz konstantnih fizičkih svojstava.
Diskretno vs. kontinuirano Deterministički vs. probabilistički (stohastički) Model deterministički je onaj u kojem je svaki skup varijabilnih stanja jedinstveno određen parametrima u modelu i skupovima prethodnih stanja tih varijabli; stoga, deterministički model uvijek funkcionira na isti način za dati skup početnih uvjeta. Obrnuto, u stohastičkom modelu - obično nazvanom "statistički model" - prisutna je slučajnost, a varijabilna stanja nisu opisana jedinstvenim vrijednostima, već distribucijama vjerovatnoća.
Deduktivni, induktivni ili plutajući Deduktivni model je logička struktura zasnovana na teoriji. Induktivni model proizlazi iz empirijskih nalaza i generalizacije iz njih. Ako model ne počiva ni na teoriji ni na posmatranju, može se opisati kao 'plutajući' model. Primjena matematike u društvenim naukama izvan ekonomije kritikovana je zbog neutemeljenih modela. Primjena teorije katastrofa u nauci okarakterisana je kao plutajući model.
Strategijski vs. nestrategijski Modeli korišteni u teoriji igara razlikuju se po tome što modeliraju agente s nekompatibilnim podsticajima, kao što su konkurentske vrste ili ponuđači na aukciji. Strateški modeli pretpostavljaju da su igrači autonomni donosioci odluka koji racionalno biraju akcije koje maksimiziraju njihovu objektivnu funkciju. Ključni izazov korištenja strateških modela je definiranje i izračunavanje koncepta rješenja kao što je Nashova ravnoteža. Zanimljivo svojstvo strateških modela je da oni odvajaju rasuđivanje o pravilima igre od rasuđivanja o ponašanju igrača.Li, C., Xing, Y., He, F., & Cheng, D. (2018). A Strategic Learning Algorithm for State-based Games. ArXiv.
Konstrukcija
U poslovanju i inženjerstvu, matematički modeli se mogu koristiti za maksimiziranje određenog izlaza. Razmatrani sistem će zahtijevati određene ulaze. Sistem koji povezuje ulaze s izlazima zavisi i od drugih varijabli: varijable odlučivanja, varijable stanja, egzogene varijable i slučajne varijable. Varijable odlučivanja se ponekad nazivaju nezavisnim varijablama. Egzogene varijable se ponekad nazivaju parametri ili konstante. Varijable nisu nezavisne jedna od druge jer varijable stanja zavise od varijable odluke, ulaza, slučajnih i egzogenih varijabli. Nadalje, izlazne varijable zavise od stanja sistema (predstavljenog varijablama stanja).
Ciljevi i ograničenja sistema i njegovih korisnika mogu se predstaviti kao funkcije izlaznih varijabli ili varijabli stanja. Ciljne funkcije će zavisiti od perspektive korisnika modela. U zavisnosti od konteksta, ciljna funkcija je poznata i kao indeks performansi, jer je neka mjera od interesa za korisnika. Iako ne postoji ograničenje broja ciljnih funkcija i ograničenja koje model može imati, korištenje ili optimizacija modela postaje složenije (računarski) kako se broj povećava. Naprimjer, ekonomisti često primjenjuju linearnu algebru kada koriste modele ulaz-izlaz. Složeni matematički modeli koji imaju mnogo varijabli mogu se konsolidovati korištenjem vektorskog prostora gdje jedan simbol predstavlja nekoliko varijabli.
A priori informacije thumb|480px| Da bi se nešto analiziralo tipičnim "pristupom crne kutije", uzeće se u obzir samo ponašanje stimulusa/odgovora, kako bi se zaključilo o (nepoznatoj) "kutiji". Uobičajeni prikaz ovog "sistema crne kutije" je dijagram toka podataka centriran u kutiji.
Problemi matematičkog modeliranja često se klasifikuju u modele crne kutije ili bijele kutije, prema tome koliko je apriori informacija o sistemu dostupno. Model crne kutije je sistem o kojem nema dostupnih apriori informacija. Model bijele kutije (također se naziva staklena kutija ili prozirna kutija) je sistem u kojem su dostupne sve potrebne informacije. Praktično svi sistemi se nalaze negdje između modela crne i bijele kutije, tako da je ovaj koncept koristan samo kao intuitivni vodič za odlučivanje koji pristup primijeniti.
Obično je poželjno koristiti što više apriori informacija kako bi model bio precizniji. Stoga se modeli bijele kutije obično smatraju jednostavnijima, jer ako ste ispravno koristili informacije, onda će se model ispravno ponašati. Često a priori informacije dolaze u obliku poznavanja vrste funkcija koje povezuju različite varijable. Na primjer, ako napravimo model kako lijek djeluje u ljudskom sistemu, znamo da je obično količina lijeka u krvi eksponencijalno opadajuća funkcija, ali i dalje nam ostaje nekoliko nepoznatih parametara; koliko brzo se količina lijeka smanjuje i koja je početna količina lijeka u krvi? Ovaj primjer stoga nije potpuno model bijele kutije. Ove parametre treba procijeniti na neki način prije nego što se model može koristiti.
U modelima crne kutije pokušava se procijeniti i funkcionalni oblik odnosa između varijabli i numerički parametri u tim funkcijama. Koristeći a priori informacije mogli bismo završiti, na primjer, sa skupom funkcija koje bi vjerovatno mogle adekvatno opisati sistem. Ako nema a priori informacija, pokušali bismo koristiti funkcije što je moguće općenitije kako bismo pokrili sve različite modele. Često korišten pristup za modele crne kutije su neuronske mreže koje obično ne prave pretpostavke o ulaznim podacima. Alternativno, NARMAX (nelinearni autoregresivni model pokretnog prosjeka sa eXogenim ulazima) algoritmi koji su razvijeni kao dio nelinearne identifikacije sistemaBillings S.A. (2013), Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains, Wiley. može se koristiti za odabir članova modela, određivanje strukture modela i procjenu nepoznatih parametara u prisustvu koreliranog i nelinearnog šuma. Prednost NARMAX modela u poređenju sa neuronskim mrežama je u tome što NARMAX proizvodi modele koji se mogu zapisati i povezati sa osnovnim procesom, dok neuronske mreže proizvode aproksimaciju koja je neprozirna.
Subjektivne informacije
Ponekad je korisno uključiti subjektivne informacije u matematički model. To se može učiniti na osnovu intuicije, iskustva ili stručnog mišljenja, ili na osnovu pogodnosti matematičkog oblika. Bayesova statistika pruža teorijski okvir za uključivanje takve subjektivnosti u rigoroznu analizu: specificiramo apriornu raspodjelu vjerovatnoće (koja može biti subjektivna), a zatim ažuriramo ovu raspodjelu na osnovu empirijskih podataka.
Primjer kada bi takav pristup bio potreban je situacija u kojoj eksperimentator lagano savije novčić i baci ga jednom, bilježeći da li padne glava, a zatim mu se da zadatak da predvidi vjerovatnoću da će sljedeće bacanje pasti glava. Nakon savijanja novčića, stvarna vjerovatnoća da će novčić pasti glava je nepoznata; tako da bi eksperimentator morao donijeti odluku (možda gledajući oblik novčića) o tome koju prethodnu distribuciju će koristiti. Uključivanje takvih subjektivnih informacija može biti važno za dobijanje tačne procjene vjerovatnoće.
Složenost Općenito, složenost modela uključuje kompromis između jednostavnosti i tačnosti modela. Occamova britva je princip posebno relevantan za modeliranje, a njegova osnovna ideja je da je među modelima sa približno jednakom prediktivnom moći, najjednostavniji najpoželjniji. Dok dodata složenost obično poboljšava realizam modela, ona može učiniti model teškim za razumijevanje i analizu, a može predstavljati i računske probleme, uključujući numeričku nestabilnost. Thomas Kuhn tvrdi da kako nauka napreduje, objašnjenja imaju tendenciju da postanu složenija prije nego što promjena paradigme ponudi radikalno pojednostavljenje.