miniatura|300px|Una tessel·lació de quadrats amb longitud de costat igual als nombres de la successió de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i 21. En matemàtiques, els nombres de Fibonacci, sovint denotats , formen una sèrie, anomenada successió de Fibonacci, tal que cada nombre de la sèrie és la suma dels dos nombres anteriors, prenent com a valors inicials de la sèrie 0 i 1. És a dir,
i
per .
La seqüència comença:
Si se segueixen definicions més antigues, el valor és omès. Així doncs, la seqüència comença amb i la relació de recurrència és vàlida per . En la seva definició original, Fibonacci començava la seqüència amb miniatura|L'espiral de Fibonacci: una aproximació de l'espiral àuria creada en dibuixar arcs circulars que connecten els vèrtexs oposats de quadrats que segueixen la tessel·lació de Fibonacci; (vegeu la imatge superior)
Els nombres de Fibonacci estan estretament relacionats amb la secció àuria: la fórmula de Binet expressa l'èssim nombre de Fibonacci en termes de i la secció àuria, i implica que la raó de dos nombres consecutius de Fibonacci tendeix a la secció àuria a mesura que augmenta.
Els nombres de Fibonacci duen el nom del matemàtic italià Leonardo de Pisa, posteriorment conegut com Fibonacci. En el seu llibre de 1202 Liber Abaci, Fibonacci va introduir la sèrie a les matemàtiques europees occidentals, tot i que la seqüència ja havia estat descrita prèviament a l'Índia, al voltant de l'any 200 abans de Crist en una obra de Pingala quan enumerava possibles patrons en la poesia en sànscrit formats per síl·labes de dues longituds diferents.
Els nombres de Fibonacci apareixen de forma inesperada en les matemàtiques, fins a tal punt que hi ha un revista sencera dedicada al seu estudi, la Fibonacci Quarterly. Les aplicacions dels nombres de Fibonacci inclouen algorismes computacionals com la tècnica de cerca de Fibonacci i l'estructura de dades del monticle de Fibonacci, i grafs anomenats cubs de Fibonacci, que serveixen per interconnectar sistemes paral·lels i distribuïts.
També apareixen en patrons de la natura, com ara en el brancatge dels arbres, la distribució de les fulles del tronc, els brots de fruits en les pinyes, la floració de les carxoferes, l'obertura de les falgueres, i la distribució de les bràctees de les pinyes.
Els nombres de Fibonacci també estan molt relacionats amb els nombres de Lucas , en el sentit que els nombres de Fibonacci i els de Lucas formen una parella completa de sèries de Lucas: and .
Història
miniatura|Tretze (F₇) maneres d'ordenar síl·labes llargues (mostrades com blocs vermells) i curtes (representades amb quadrats grisos) en una cadència de longitud sis. Cinc (F₅) acaben amb una síl·laba llarga i vuit (F₆) ho fan amb una síl·laba curta.
La sèrie de Fibonacci apareix en les matemàtiques a l'Índia en relació al prosòdia en sànscrit, tal com va assenyalar Parmanand Singh l'any 1986. En la tradició poètica en sànscrit, era interessant enumerar tots els patrons de síl·labes llarges (L) de 2 unitats de duració, juxtaposades amb les síl·labes curtes (C) d'1 unitat de durada. El recompte dels diferents patrons d'L i d'S successius d'una durada total fixa dona lloc als nombres de Fibonacci: el nombre de patrons de durada unitats és .
Hi ha consciència per primer cop del coneixement de la sèrie de Fibonacci en l'obra de Pingala (circa 450 –200 aC). Singh va citar la críptica fórmula de Pingala coneguda com misrau cha ("les dues es barregen") i els acadèmics van interpretar-ho en aquest context com: el nombre de patrons d' blocs () s'obté afegint una [C] als casos i una [L] als casos. Bharata Muni també va demostrar conèixer la sèrie a Natya Shastra (c. 100 aC–c. 350 dC). Tanmateix, l'exposició més clara de la seqüència es troba en l'obra de Virahanka (c. 700 dC), l'obra del qual es va perdre però es pot trobar en una citació de Gopala (c. 1135):Variacions de dos metres anteriors [és la variació]... Per exemple, per [un metre de longitud] quatre, variacions de metres de dos [i] tres són sumats, apareix el cinc. [calcula els exemples de 8, 13, 21]... D'aquesta manera, s'hauria de seguir el procés en totes les mātrā-vṛttas [combinacions prosòdiques].
Hemachandra (al voltant de 1150) és també considerat sabedor de la seqüència, ne escriure que "la suma entre l'anterior i el d'abans és el nombre ... del següent mātrā-vṛtta."
miniatura|Una pàgina del llibre de Liber Abaci de Fibonacci de la Biblioteca Nacional Central de Florència que mostra (en un requadre vermell) la seqüència de Fibonacci amb la posició en la sèrie etiquetada en nombres llatins i romans i el valor en nombres aràbics. miniatura|El nombre de parelles de conills de la seqüència de Fibonacci
Fora de l'Índia, la seqüència de Fibonacci va aparèixer per primer cop al Liber Abaci (El Llibre del Càlcul, 1202) de Fibonacci on s'utilitzava per calcular el creixement en la població de conills. Fibonacci va considerar el creixement d'una població de conills ideal (biològicament poc realista), assumint que: una parella de cries de conill nounada es posen en un camp; cada parella de cries s'aparella a l'edat d'un mes, i al final del segon mes sempre produeixen una altra parella de conills; i els conills mai no moren, sinó que continuen criant per sempre. Fibonacci va proposar aquest enigma: quantes parelles hi haurà en un any?
Al final del primer mes, s'aparellen, però hi segueix havent només una parella. Al final del segon mes produeixen una nova parella, així doncs hi ha 2 parelles en el camp. Al final del tercer mes, la parella original produeix una segona parella, però la segona parella simplement s'aparellen sense criar, així doncs hi ha 3 parelles en total. Al final del quart mes, la parella original ha produït una altra parella, i la parella que va néixer fa dos mesos produeixen la seva primera parella, fent-ne un total de cinc.
Al final del mes -èssim, el nombre de parelles de conills és igual al nombre de parelles madures (és a dir, el nombre de parelles en el mes ) més el nombre de parelles vives el mes anterior (el mes ). El nombre en el mes -èssim és l'-èssim nombre de Fibonacci.
El terme "seqüència de Fibonacci" va ser utilitzat per primer cop pel teòric de nombres del Édouard Lucas.
Propietats de la seqüència Els primers 21 nombres de Fibonacci són: {| class=wikitable style="text-align:right" |- | F0 | F1 | F₂ | F₃ | F₄ | F₅ | F₆ | F₇ | F₈ | F9 | F10 | F11 | F₁₂ | F13 | F14 | F15 | F16 | F17 | F18 | F19 | F20 |- | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | 610 | 987 | 1597 | 2584 | 4181 | 6765
La sèrie pot ser estesa a índexos negatius utilitzant la relació de recurrència reordenada
que dona lloc a la sèrie de nombres "negafibonacci" que satisfan
Així doncs, la sèrie bidireccional queda
{| class=wikitable style="text-align:right" |- | F−8 | F−7 | F−6 | F−5 | F−4 | F−3 | F−2 | F−1 | F0 | F1 | F₂ | F₃ | F₄ | F₅ | F₆ | F₇ | F₈ |- | −21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21
Relació amb la secció àuria
Expressió en forma tancada Com tota seqüència definida a partir d'una recurrència lineal amb coeficients constants, els nombres de Fibonacci tenen una expressió en forma tancada. Ha estat coneguda com la fórmula de Binet, pel matemàtic francès Jacques Philippe Marie Binet, tot i que ja era coneguda per Abraham de Moivre i Daniel Bernoulli:
on
és la secció àuria , i
Com que , aquesta fórmula també pot ser escrita com
Per veure-ho, noti's quw i són totes dues solucions de les equacions
així doncs, les potències de i satisfan la recursió de Fibonacci. En altres paraules,
i
Segueix que per valors qualssevol de i de , la seqüència definida per
satisfà la mateixa recurrència.
Si i són triats tals que i llavors la seqüència resultant ha de ser una seqüència de Fibonacci. Això és el mateix que imposar que i satisfacin el sistema d'equacions:
amb solució
que produeix la fórmula imposada.
Prenent com a valors inicials i constants arbitràries, una solució més general és:
on
Càlcul per arrodoniment Com que
per tot , el nombre és l'enter més proper a . Per tant, es pot trobar arrodoniment, utilitzant la funció de l'enter més proper:
De fet, l'error d'arrodoniment és molt petit, menys de 0.1 per , i més de 0.01 per .
També es poden calcular els nombres de Fibonacci mitjançant el truncament, en termes de la funció terra:
Com que la funció terra és monòtona, es pot invertir aquesta darrera fórmula per trobar l'índex del major nombre de Fibonacci que no és més gran que un nombre real :
on
Límit de quocients consecutius miniatura|upright=2.2|Tessel·lacions successives del pla i una gràfica de les aproximacions de la secció àuria calculades dividint cada nombre de Fibonacci per l'anterior
Johannes Kepler va observar que la raó entre nombres consecutius de Fibonacci convergeix. Va escriure que "el que 5 és a 8 és, pràcticament, el que 8 és a 13, i el que 8 és a 13, és el que 13 és a 21 gairebé", i va concloure que aquestes raons tendeixen a la secció àuria
Aquesta convergència funciona independentment dels valors inicials, exceptuant el cas trivial de 0,0, o qualsevol parella en la secció àuria conjugada, Això es pot verificar usant la fórmula de Binet. Per exemple, els valors inicials de 3 i 2 generen la seqüència 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... La raó de termes consecutius en aquesta seqüència mostra la mateixa convergència cap a la secció àuria.
Descomposició en potències Com que la secció àuria satisfà l'equació
es pot utilitzar aquesta expressió per descompondre potències més elevades com a funció lineal de potència més baixes, que alhora poden ser descomposades successivament fins a obtenir una combinació lineal de i 1. La relació de recurrència resultant acaben tenint nombres de Fibonacci com a coeficinets lineals:
Es pot demostrar aquesta equació mitjançant inducció en n.
Aquesta expressió és també vàlida per n < 1 si s'esté la seqüència de Fibonacci Fn als enters negatius, utilitzant la relació de Fibonacci
Forma matricial Un sistema de dues dimensions d'equacions de diferència que descriu la seqüència de Fibonacci és
denotat, alternativament, com
que implica . Els valors propis de la matriu són i que corresponen als vectors propis
i
Com que els valors inicials són
es té que el terme -èssim és
D'aquesta expressió, es pot concloure que l'element -èssim de la sèrie de Fibonacci pot ser obtingut de manera directa a partir de l'expressió en forma tancada:
De manera equivalent, es pot fer el mateix càlcul diagonalitzant a partir de l'ús de la seva descomposició en valors propis:
on i L'expressió en forma tancada de l'element -èssim de la sèrie de Fibonacci ve, doncs, donat per
que implica, com abans,
La matriu té determinant de −1 i, per tant, és una matriu unimodular 2×2.
Es pot entendre aquesta propietat en termes de la representació en fracció contínua de la secció àuria:
Els nombres de Fibonacci apareixen a mesura que la raó de convergents successius de la fracció contínua de , i la matriu formada a partir del convergents successius de qualsevol fracció contínua té un determinant de +1 o −1. La representació matricial dona la següent expressió en forma tancada dels nombres de Fibonacci:
Prenent el determinant en ambdós costats de l'equació, s'obté la identitat de Cassini,
A més, com que per qualsevol matriu quadrada , es poden derivar les següents identitats (s'obtenen a partir de dos coeficients diferents del producte matricial, i es pot deduir fàcilment la segona a partir de la primera canviant per ),
En particular, amb ,