miniatura|El teorema de Pitàgores té almenys 370 demostracions conegudes. En matemàtiques, un teorema és una clàusula o proposició que es pot demostrar vertadera en un marc lògic determinat, format, per exemple, per altres teoremes, i per enunciats generalment acceptats, com els axiomes. Un teorema és una conseqüència lògica dels axiomes. La demostració de teoremes és una activitat central en matemàtiques, i consisteix en un argument lògic de l'enunciat del teorema, basat en les regles d'un sistema deductiu. La demostració d'un teorema s'acostuma a interpretar com una justificació de la veracitat de l'enunciat del teorema. Segons la manera en què es demostren els teoremes, el concepte de teorema és fonamentalment deductiu, en contrast amb la noció d'una llei científica, que és experimental.Tot i això, tant els teoremes com les lleis científiques són el resultat d'investigacions. Vegeu "teorema (θεὼρνμα), de θεωρεἳν, investigar"
Cal no confondre teorema i teoria. En matemàtiques, un conjunt de teoremes i de definicions (axiomes) pot formar una teoria, com la teoria de nombres.
Descripció Molts teoremes matemàtics tenen la forma d'enunciats condicionals. En aquest cas, la demostració arriba a la conclusió a partir de certes condicions anomenades hipòtesis o premisses. Quan s'interpreta la demostració com una justificació de la veracitat, s'acostuma a veure la conclusió com una conseqüència necessària de les hipòtesis, és a dir, la conclusió és certa en el cas que les hipòtesis siguin certes, sense cap supòsit addicional. Tanmateix, el condicional es pot interpretar d'una manera diferent en certs sistemes deductius, depenent dels significats atribuïts a les regles de derivació i al símbol condicional.
Encara que es poden expressar en una forma completament simbòlica, per exemple, en termes de càlcul proposicional, els teoremes s'acostumen a expressar en un llenguatge natural; anàlogament per a les demostracions, que s'acostumen a expressar com a arguments informals organitzats de manera lògica, amb l'objectiu de convèncer els lectors de la veracitat de l'enunciat del teorema, fora de cap dubte, i a partir de la qual se'n podria construir, en principi, una demostració simbòlica. Aquests arguments en llenguatge natural són més senzills de comprovar que els expressats en forma purament simbòlica; de fet, molts matemàtics expressen la seva preferència per demostracions que no només mostrin la validesa d'un teorema, sinó que també expliquin per què són certes. En alguns casos, n'hi ha prou amb un diagrama per demostrar un teorema.
Com que els teoremes són una part central de les matemàtiques, també pot hom considerar la seva estètica. Alguns teoremes es cataloguen com a "trivials", o "difícils", o "profunds", o fins i tot amb "bellesa". Aquestes apreciacions subjectives poden variar, no només de persona a persona, sinó també amb el temps: per exemple, quan se simplifica o s'entén millor una demostració, un teorema que es considerava difícil ara es pot veure com a trivial. D'altra banda, un teorema profund pot tenir un enunciat senzill, però la seva demostració pot implicar connexions sorprenents i subtils entre diferents àrees de les matemàtiques. El darrer teorema de Fermat és un exemple ben conegut d'aquest tipus de teoremes.
Tipologia de teoremes Des d'un punt de vista de la lògica, molts teoremes tenen la forma d'un indicatiu condicional: «si A, llavors B». Aquest enunciat no afirma B, només que B és una conseqüència necessària dA. En aquest cas, hom diu que A és hipòtesi del teorema (cal notar que, aquí, "hipòtesi" és quelcom diferent d'una conjectura) i B la conclusió (formalment, A i B són lantecedent i el conseqüent). El teorema «Si n és un nombre natural parell, llavors n/2 és un nombre natural» és un exemple típic en el qual la hipòtesi és «n és un nombre natural parell» i la conclusió és «n/2 també és un nombre natural».
Per tal de ser demostrat, un teorema s'ha de poder expressar com un enunciat formal i precís. Tanmateix, els teoremes s'acostumen a expressar en un llenguatge natural en comptes d'en forma completament simbòlica, amb l'objectiu de què el lector pugui crear un enunciat formal a partir de l'informal.
És habitual en matemàtiques escollir un cert nombre d'hipòtesis en un cert llenguatge i declarar que la teoria consisteix en tots els enunciats demostrables a partir d'aquestes hipòtesis. Aquestes hipòtesis configuren la base fonamental de la teoria, i s'anomenen axiomes o postulats. L'àrea de les matemàtiques coneguda com a teoria de la demostració estudia els llenguatges formals, els axiomes i l'estructura de les demostracions.
miniatura|Un graf planar amb cinc colors tal que no hi ha dues regions adjacents amb el mateix color. Es pot demostrar que aquest mapa es pot acolorir amb només quatre colors. De fet, el teorema dels quatre colors afirma que, donat un graf planar qualsevol, n'hi ha prou amb quatre colors per acolorir el mapa de tal manera que no hi hagi dues regions adjacents amb el mateix color, però la demostració que se'n coneix implica una cerca computacional massa llarga per ser verificada manualment. Alguns teoremes són "trivials", en el sentit que són una conseqüència immediata de les definicions, els axiomes i altres teoremes, i no contenen sorpreses. D'altra banda, altres teoremes es consideren "profunds", ja que les seves demostracions poden ser llargues i complicades, o poden implicar àrees de les matemàtiques sense connexió aparent amb l'enunciat del teorema, o poden connectar diferents àrees de les matemàtiques de manera sorprenent. Un teorema pot ser profund encara que el seu enunciat sigui simple; un exemple d'aquest cas és el Darrer Teorema de Fermat, però n'hi ha d'altres en teoria de nombres i combinatòria.
Altres teoremes tenen una demostració coneguda que no es pot escriure de manera simple. Els exemples més coneguts de teoremes d'aquest tipus són el teorema dels quatre colors i la conjectura de Kepler. S'ha demostrat que aquests dos teoremes són certs reduint-los a una cerca computacional que llavors es comprova mitjançant un programa d'ordinador. Inicialment, molts matemàtics no acceptaven aquest tipus de demostració, però actualment està més acceptada. El matemàtic Doron Zeilberger afirmà que aquests són, possiblement, els únics resultats no trivials que han demostrat mai els matemàtics. Molts teoremes matemàtics es poden reduir a una computació més directa, com algunes identitats polinòmiques, trigonomètriques i hipergeomètriques.
Enunciats i teoremes Estrictament parlant, per tal d'establir un enunciat matemàtic com a teorema, en cal una demostració, és a dir, una seqüència d'arguments lògics que parteixen dels axiomes del sistema (i d'altres teoremes existents –i demostrats– anteriorment), fins a arribar com a conclusió a l'enunciat que es vol demostrar. No obstant això, s'acostumen a considerar per separat la demostració del teorema. Encara que pot haver-hi més d'una demostració per a un teorema, només cal una demostració per tal que l'enunciat es consideri un teorema. El teorema de Pitàgores i la llei de reciprocitat quadràtica competeixen per ser el teorema amb el nombre més gran de demostracions diferents.Vegeu i
Relació amb teories científiques Els teoremes de les matemàtiques i les teories de les ciències són fonamentalment diferents en la seva epistemologia. Una teoria científica no es pot demostrar; el seu atribut clau és que és refutable, és a dir, fa prediccions sobre el món natural que són verificables mitjançant experiments. Qualsevol incoherència entre la predicció i l'experiment mostra que la teoria científica és incorrecta, o almenys limita la seva precisió o el seu àmbit de validesa. Els teoremes matemàtics, per altra banda, són enunciats formals purament abstractes: la demostració d'un teorema no pot implicar experiments ni cap altra prova experimental.
miniatura|La conjectura de Collatz: una manera d'il·lustrar la seva complexitat és estendre la iteració dels nombres naturals als nombres complexos. El resultat és un fractal, que (d'acord amb la universalitat) s'assembla al conjunt de Mandelbrot. Tanmateix, hi ha cert grau d'empirisme i recol·lecció de dades implicats en el descobriment de teoremes matemàtics. Si s'identifica un patró, de vegades amb l'ajut d'un ordinador potent, els matemàtics poden tenir una idea de què s'ha de demostrar, i en alguns casos fins i tot un pla per confeccionar la demostració. Per exemple, s'ha verificat la conjectura de Collatz amb valors inicials de fins a aproximadament 2,88 × 1018. La hipòtesi de Riemann s'ha verificat per als primers 10 bilions de zeros de la funció zeta. Cap d'aquests enunciats es considera demostrat.
Aquestes verificacions no constitueixen una demo. Per exemple, la conjectura de Mertens és un enunciat sobre nombres naturals que ara se sap que és fals, però no se'n coneix cap contraexemple explícit (és a dir, un nombre natural n per al qual la funció de Mertens M(n) és igual o superior a l'arrel quadrada de n): tots els nombres més petits que 10¹⁴ tenen la propietat de Mertens, i només es coneix que el nombre més petit que no té aquesta propietat és menor que l'exponencial d'1,59 × 1040, que és aproximadament 10 elevat a 4,3 × 1039. Com que se suposa que el nombre de partícules de l'Univers és menys de 10 elevat a 100 (un googol), no s'espera trobar un contraexemple explícit mitjançant una cerca per força bruta.
Cal notar que el terme "teoria" també existeix en matemàtiques, per denotar un conjunt d'axiomes matemàtics, definicions i teoremes, com per exemple, la teoria de grups. També hi ha "teoremes" en ciències, particularment en física i en enginyeria, però sovint tenen enunciats i demostracions on les suposicions físiques i la intuïció juguen un rol important: els axiomes físics sobre els quals es basen aquests "teoremes" són, de fet, refutables.
Terminologia Existeixen diversos termes per als diferents enunciats matemàtics; aquests termes indiquen el rol que juguen aquests enunciats en una àrea de coneixement determinada. La distinció entre els diferents termes és, de vegades, arbitrària, i l'ús d'alguns termes ha evolucionat amb el temps. Un axioma o postulat és un enunciat acceptat sense demostració i vist com a fonamental per a una certa àrea de coneixement. Històricament eren considerats com a "evidents per si mateixos", però més recentment es consideren com a suposicions que caracteritzen l'objecte d'estudi. En geometria clàssica, els axiomes són enunciats generals, mentre que els postulats són enunciats sobre objectes geomètrics. Una definició també s'accepta sense demostració perquè només proporciona el significat d'una paraula o frase en termes de conceptes coneguts. Un enunciat sense demostrar que se suposa cert s'anomena conjectura (o de vegades hipòtesi, però amb un sentit diferent del qual s'ha vist anteriorment). Per tal de ser considerat com a conjectura, l'enunciat s'ha de proposar públicament, moment en el qual es pot afegir el nom del proponent a la conjectura, com en el cas de la conjectura de Goldbach. Altres conjectures famoses són la conjectura de Collatz i la hipòtesi de Riemann. D'altra banda, el darrer teorema de Fermat sempre s'ha conegut com a teorema, fins i tot quan no se'n coneixia la demostració; mai no va ser conegut com la "conjectura de Fermat". Una proposició és un teorema sense cap importància especial. Aquest terme denota de vegades un enunciat amb una demostració senzilla, mentre que s'acostuma a reservar el terme teorema per a resultats més importants o per a aquells amb demostracions llargues o difícils. En geometria clàssica, una proposició pot ser una construcció que satisfà uns certs requisits; per exemple, la Proposició 1 del Llibre I dels Elements d'Euclides és la construcció d'un triangle equilàter.