En la història de la probabilitat s'ha de tenir en compte que la probabilitat té un aspecte dual: d'una banda la probabilitat o possibilitat de les hipòtesis donades i d'altra banda el comportament del procés estocàstic com són llançar monedes o daus a l'aire. L'estudi del comportament del procés estocàstic té el seu inici l'any 1654, quan Blaise Pascal i Pierre de Fermat inicien una correspondència en la qual es resolen correctament alguns problemes sobre jocs d'atzar.
La probabilitat es distingeix de l'estadística. (Vegeu Història de l'estadística). Mentre que l'estadística tracta de les dades i les seves inferències, la probabilitat estocàstica tracta dels processos aleatoris estocàstics que hi ha darrere de les dades o sortides.
Etimologia Probable deriven del llatí medieval probabilis i verisimilis, derivant des de Ciceró i aplicat generalment a una opinió que sigui plausible o aprovada generalment.J. Franklin, The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, 113, 126.
Orígens Les lleis d'evidència antigues i medievals desenvolupaven graus de prova, probabilitat, presumpció i mitja prova en les incerteses dels tribunals.Franklin, The Science of Conjecture, ch. 2. Al Renaixement, per a les assegurances marítimes es van estimar els riscs intuïtius però sense una teoria de com calcular-los.Franklin, Science of Conjecture, ch. 11.
Els mètodes matemàtics de la probabilitat es consoliden amb la correspondència entre Pierre de Fermat i Blaise Pascal (1654), però abans d'ells altres autors havien intentat resoldre problemes plantejats en el context de l'atzar. Obres com el Llibre dels escacs, encarregat per Alfons X al segle i en el qual es descriuen jocs com L'Atzar (amb llançaments de 3 daus), i l'obra enciclopèdica Summa, en què Luca Pacioli (1445-1517) inclou una resolució del problema dels punts, són exemples d'intents anteriors a Pascal i Fermat per entendre la probabilitat. Girolamo Cardano (1501-1576) va escriure Liber de Ludo Aleae, un llibre sobre jocs d'atzar amb consells pràctics i reflexions per als jugadors, i en la seva obra Practica arithmeticae et Mensurandi singularis apareix una solució del problema dels punts. Galileu (1564-1642) també es va dedicar a resoldre un problema sobre jocs d'aquest tipus. El problema dels punts va portar a diverses reflexions dels autors mencionats, però en faltava la resolució correcta, la qual va ser donada per Pascal i Fermat. A causa d'aquest gran pas, es considera que la probabilitat comença amb aquests dos savis i va ser Christiaan Huygens (1657) qui va donar un tractament matemàtic exhaustiu al tema.Hacking, Emergence of Probability; Franklin, Science of Conjecture, ch. 12.
Segle Pierre de Fermat era un advocat i matemàtic francès. Va ser un dels inventors de la geometria analítica i, juntament amb René Descartes, va aplicar l'àlgebra a la geometria. A més, va crear la teoria de nombres i és famós pel «darrer teorema de Fermat» i pel «petit teorema de Fermat».
Blaise Pascal va ser un matemàtic, físic i filòsof cristià francès. Algunes de les seves aportacions a la ciència van ser l'aclariment del concepte de «buit» i «pressió», a més de l'anomenat «principi de Pascal», la construcció de calculadores mecàniques, el triangle de Pascal i el «teorema de Pascal», que fa referència a la geometria projectiva. Étienne Pascal, jurista i matemàtic francès pare de Blaise Pascal, coneixia Pierre de Fermat. Aquesta és una de les possibles raons per la qual Pascal i Fermat van iniciar una correspondència.
Quan el 1654, Pascal i Fermat van iniciar un diàleg escrit, Fermat vivia a Tolosa de Llenguadoc i Pascal a París. Per aquest motiu només es podien comunicar per mitjà de cartes. Utilitzant aquesta correspondència per discutir les seves hipòtesis, entre els dos van tractar tres problemes importants de la probabilitat: el problema del dau amb partides no jugades; el problema dels daus del cavaller de Méré i el problema dels punts.
Les cartes es van fer públiques en els cercles científics de París i la resolució dels problemes va cridar l'atenció d'altres matemàtics europeus. A partir d'aquest moment, van començar a sorgir una sèrie de publicacions molt importants per consolidar la probabilitat entre el final del i el principi del .
Epistemologia de les cartes La correspondència entre Pascal i Fermat durant l'estiu de 1654 consta de cinc cartes d'un possible total de set (algunes es van perdre), més una de comiat. Aquesta correspondència va durar del juny-juliol al setembre-octubre d'aquell mateix any. En particular, les cartes que no es conserven són de la fase inicial d'aquesta sèrie. Una carta de Fermat no té data però és situada en primer lloc, ja que pel seu contingut sembla que sigui la primera que va ser escrita de les que es conserven.
Carta perduda Carta de Pascal a Fermat en la que Pascal planteja els problemes que seran el motiu de la seva correspondència.
Carta de Fermat a Pascal, sense data Carta, amb data desconeguda, que comença la correspondència entre Pascal i Fermat. Aquest últim, autor de la carta, dona resposta a una altra escrita per Pascal (perduda) i li proposa la resolució del problema del dau amb partides no jugades. Fermat canvia una mica l'enunciat del problema i el resol. Anàlogament, explica el perquè de l'error de Pascal en la carta anterior, en donar el resultat del problema.
Carta de Pascal a Fermat, 29 de juliol de 1654 Pascal comença admirant la resolució del problema del dau amb partides no jugades que prèviament li havia enviat Fermat, sobretot la solució de les entregues del total apostat, i sent una gran alegria en veure que en un resultat han coincidit. Tot seguit mostra un exemple més curt i clar sobre les entregues, suposant casos fins a arribar a l'indicat. Després d'això, proposa el problema de saber el valor de la primera partida, donat el nombre de partides que es vulgui.
El resol amb l'ajut de dues proposicions aritmètiques:
La primera diu que si agafem n lletres qualssevol, per exemple 8, el nombre que surt de sumar la meitat de les combinacions possibles de n/2 (4) lletres, amb les combinacions de n/2+1 (5 lletres), n/2+2 (6 lletres), etc., fins a les combinacions de n/2 (8 lletres), és igual al nombre que ocupa la posició (4) de la progressió quaternària d'origen 2.
La segona diu que el valor de la primera partida de n (per exemple 5) és igual a la fracció que té per numerador la meitat de les combinacions de les partides que falten per jugar, n-1 (4), sobre el doble d'aquest, 2(n-1) (8), i per denominador la suma del numerador més les combinacions que falten fins a arribar a 2(n-1) (8). Aquesta fracció serà igual al nombre que surt del producte dels n primers nombres parells com a numerador i el producte dels n primers senars com a denominador, el que entenem com el quocient del doble factorial de 2n i del doble factorial de 2(n-1). Pascal s'ofereix a enviar-li una taula amb resultats sobre el problema esmentat.
Després d'això, Pascal comenta el problema dels daus del Cavaller de Méré.
A continuació, demostra que la diferència de dos cubs consecutius menys 1 és sis vegades els nombres continguts en l'arrel més petita d'aquests, utilitzant el lema que diu que el doble de la suma de n nombres, començant per la unitat, és igual a n per n+1.
Acaba la carta afegint-hi dos problemes que ha resolt de la mateixa manera que aquest últim i deixant clara l'admiració que sent per Fermat quan s'acomiada.
Carta perduda (problemes Méré i punts) Contestació de Fermat a Pascal.
Carta de Pascal a Fermat, 24 d'agost de 1654 En aquesta carta, Pascal dona noves opinions a Fermat sobre les divisions entre diversos jugadors, explicant que en l'anterior carta no ho havia fet per por de trencar l'enteniment mutu entre els dos. Pascal afirma que quan hi ha només dos jugadors, el mètode de Fermat funciona a la perfecció, però que, si hi ha tres jugadors, el resultat ja no és massa acurat.
La raó que dona Pascal és que és un error basar el mètode sobre la suposició que s'han de jugar quatre jocs, perquè quan a un jugador li calen dos jocs i a l'altre tres, no té per què ser veritat que s'hagin de jugar quatre jocs, sinó que és possible que, per estar segurs, només se'n juguin dos o tres. Finalitzada la seva demostració, Pascal demana l'opinió sobre el seu mètode a Fermat.
Carta de Fermat a Pascal, 29 d'agost de 1654 Fermat comença dient a Pascal que el més sensat és estar d'acord amb ell, ja que no té por de «sortir-se del camí». Després li fa saber que està força ocupat i que li agrairia que li donés un descans, però no abans de respondre sobre els tres jugadors que juguen una partida de dos jocs.
Tot seguit, però, sembla que perd interès per aquest problema i comença a parlar de problemes de teoria de nombres. Així que Fermat presenta una proposició, de la qual encara no ha trobat la prova completa, que troba «nombres que estiguin en una determinada raó amb les seves parts alíquotes» (els divisors propis). És la següent: els quadrats de les potències de 2, incrementats d'una unitat, són sempre nombres primers. Finalment s'acomiada dient que ja en parlaran.
Carta de Fermat a Pascal, 25 de setembre de 1654 En aquesta carta, escrita gairebé un mes després de l'anterior, Fermat respon més pausadament al problema que Pascal proposava sobre les divisions entre diversos jugadors, que havia causat un no enteniment en el seu resultat. Fermat li explica que el resultat bo és aquell el qual Pascal ha arribat amb el seu mètode(el de Pascal), ja que per utilitzar el mètode de Fermat ha de considerar que l'ordre és important, cosa que en el cas de dos jugadors no passa. Per explicar-li, Fermat introdueix la regla de probabilitats totals i diu que, sense recórrer a la ficció, és a dir, sense afegir partides fictícies, proporciona una solució que és proporcional a la solució amb l'extensió de jocs imaginaris. Un cop explicat això i havent arreglat el mal entès, Fermat insisteix en un dels temes que més li agradava: la teoria de nombres.
Última carta 27 d'octubre de 1654 En l'última carta que Pascal escriu a Fermat, li diu que ell ja està satisfet, i que es busqui un altre amb qui mantenir correspondència sobre els seus problemes aritmètics. Pascal s'acomiada i anima Fermat perquè segueixi endavant amb els seus resultats.
Resolució dels problemes proposats En la correspondència Fermat–Pascal s'esmenten els tres problemes mencionats, que van ser proposats a Pascal pel cavaller de Méré en algun moment entre 1652 i 1654.
El problema dels daus del cavaller de Méré En llençar dos daus, quants llançaments són necessaris per tenir una probabilitat més gran que 0.5 d'obtenir almenys un doble sis?
El cavaller de Méré sabia que, si intentava treure un sis en llançar un dau perfecte, en quatre tirades tenia un avantatge al seu favor de 671 davant de 625. Si volia treure un doble sis amb dos daus, hi hauria un desavantatge en intentar-ho en 24 llançaments. Però, 24 és a 36 com 4 és a 6 (on 36 i 6 són el nombre de cares dels daus). Aquí hi ha una contradicció que el cavaller de Méré va veure i el va fer dubtar de la mateixa veritat de l'aritmètica. Méré creia que, si per tenir almenys el 50 per cent de probabilitats de treure un sis tirant un sol dau s'havien de fer com a mínim quatre llançaments, aquesta proporció (4:6) s'hauria de mantenir en tirar dos daus. Així doncs, 4:6::24:36. En canvi, ell trobava que li calien, almenys, vint-i-cinc llançaments i d'aquí la seva confusió.
Pascal va enviar una carta a Fermat exposant aquest problema, però la contestació de Fermat ha desaparegut i, com en la resta de la correspondència no tornen a parlar sobre aquest assumpte, no coneixem «la solució» de Pascal, ni tampoc com Méré coneixia que, efectivament, no hi ha avantatges en vint-i-quatre tirades de dos daus.
El problema del dau amb partides no jugades