En matemàtiques, els nombres de Stirling apareixen en una gran varietat de problemes analítics i combinatoris. Reben el seu nom del matemàtic escocès James Stirling, qui els va introduir en el . Existeixen dos conjunts diferents de nombres de Stirling: els de primera espècie i els de segona espècie.
Notació S'utilitzen diferents notacions per als nombres de Stirling. En general, els nombres de Stirling de primera espècie s'escriuen amb uns s minúscula, mentre que pels de segona espècie es fa servir una S majúscula. Els nombres de Stirling de segona espècie no són mai negatius, però els de primera espècie poden ser positius i negatius: per això també s'utilitza una notació específica per als nombres de primera espècie sense signe (en valor absolut). Les notacions comunament utilitzades són:
per als nombres de Stirling de primera espècie (amb el seu signe),
per als nombre de Stirling de primera espècie en valor absolut, (sense signe), i
per als nombre de Stirling de segona espècie.
Alguns autors, pàgina 824 fan servir una majúscula i una gòtica, respectivament, pels nombres de primera i segona espècie. La notació amb claus i claudàtors, en analogia amb els coeficients binomials, va ser introduïda el 1935 per Jovan Karamata i promoguda després per Donald Knuth.
Nombres de Stirling de primera espècie Els Nombres de Stirling sense signe de primera espècie compten el nombre de permutacions de n elements en k cicles disjunts. Per exemple, si considerem el conjunt , pot ser dividit en dos cicles de les següents onze formes:
— — — — — — — — —
És a dir: , i, en general:
És fàcil comprovar que i que .
Els nombres de Stirling de primera espècie en general (que inclouen nombres negatius) són els coeficients de l'expansió de:
on (un símbol de Pochhammer) denota el factorial descendent:
Noti's que perquè és un prodducte buit. En combinatòria també s'utilitza a vegades la notació per a factorial descendent, i per al factorial ascendent.
Uns pocs dels nombres de Stirling de primera espècie s'il·lustren en la taula següent:
en la que
Nombres de Stirlig de segona espècie Els nombres de Stirlig de segona espècie compten el nombre de formes de partir un conjunt de elements entre subconjunts no buits., pàgina 424. Definició 8.7 Per exemple, el conjunt pot partir-se en dos subconjunts no buits de les següents set formes:
— — — — —
Per això, .
És fàcil comprovar que i que .
Es denoten com o . La suma
és l'enèsim nombre de Bell.
Utilitzant els factorials descendents, podem caracteritzar els nombres de Stirling de segona espècie amb la identitat:
Nombres de Lah Els nombres de Lah es denominen sovint nombres de Stirling de tercera espècie.
Relació inversa Els nombres de Stirling de primera i segona espècie poden ser considerats com inversos els uns dels altres:
i
on és la delta de Kronecker. Aquestes dues relacions es poden entendre com si fossin relacions entre matrius inverses. És a dir, sigui la més petita matriu triangular, amb elements de la matriu . La seva matriu inversa, , serà la més petita matriu triangular dels nombres de Stirling de segona espècie, amb elements de la matriu .
Simbòlicament es pot escriure:
Encara que i són infinites, o sigui que calcular un producte involucra una suma infinita, el producte d'aquestes matrius es pot obtenir perquè són mínimes triangulars i només un nombre finit de termes de la suma són diferents de zero.
Una generalització d'aquesta relació d'inversió proporciona l'enllaç amb els nombres de Lah
amb les convencions i si .
Fórmules simètriques Les segúents fórmules simètriques relacionen els nombres de Stirlig de primera i de segona espècie:
i
Referències
Bibliografia
Enllaços externs . .
Stirling Categoria:Combinatòria