La teoria de la línia d'elevació o sustentació de Lanchester-PrandtlAnderson, John D. (2001), Fundamentals of Aerodynamics, p. 360. McGraw-Hill, Boston. . és un model matemàtic en aerodinàmica que prediu la distribució de la sustentació sobre una ala tridimensional a partir de la geometria de l'ala. La teoria va ser expressada independentment per Frederick W. Lanchester el 1907, i per Ludwig Prandtl el 1918-1919 després de treballar amb Albert Betz i Max Munk. En aquest model, el vòrtex unit a l'ala es desenvolupa al llarg de tota l'envergadura perquè es desprèn com una làmina de vòrtex des de la vora posterior, en lloc de només com un únic vòrtex des de les puntes de les ales.

Introducció miniatura|Els perfils aerodinàmics en dues dimensions són més fàcils d'entendre, però no es corresponen directament amb ales finites tridimensionals. És difícil predir analíticament la quantitat total de sustentació que generarà una ala d'una geometria determinada. Quan s'analitza una ala finita tridimensional, un enfocament tradicional divideix l'ala en seccions transversals i analitza cada secció transversal independentment com una ala en un món bidimensional. Cadascuna d'aquestes seccions s'anomena perfil aerodinàmic, i és més fàcil entendre un perfil aerodinàmic que una ala tridimensional completa.

Es podria esperar que entendre l'ala completa simplement impliqués sumar les forces calculades independentment de cada segment de perfil aerodinàmic. Tanmateix, aquesta aproximació és molt incorrecta: en una ala real, la sustentació de cada secció infinitesimal de l'ala es veu fortament afectada pel flux d'aire sobre les seccions de l'ala veïnes. La teoria de la línia de sustentació corregeix alguns dels errors de l'enfocament bidimensional ingenu incloent algunes interaccions entre les seccions de l'ala.

Principi i derivació miniatura|Una distribució arbitrària no uniforme de sustentació sobre una ala que es divideix en segments. La sustentació sobre cada segment es pot modelar mitjançant el concepte de circulació. Part d'una sèrie d'il·lustracions destinades a il·lustrar la teoria de la línia de sustentació. La teoria de la línia sustentadora suposa ales llargues i primes amb un fuselatge insignificant, similar a una barra prima (la "línia sustentadora" epònima) d'envergadura impulsats a través del fluid. Segons el teorema de Kutta-Joukowski, la sustentació en un segment bidimensional de l'ala a distància del fuselatge és proporcional a la circulació al voltant de la barra a . Quan l'aeronau està estacionària a terra, aquestes circulacions són totes iguals, però quan l'aeronau està en moviment, varien amb . Segons els teoremes de Helmholtz, la generació d'una circulació espacialment variable ha de correspondre a la despreniment d'un filament de vòrtex de la mateixa força aigües avall de l'ala. miniatura|Segons els teoremes de Helmholtz, qualsevol canvi en la sustentació (i, per tant, en la circulació) al llarg de l'envergadura provoca la pèrdua d'un vòrtex posterior. La força d'aquest vòrtex és igual a la diferència de les circulacions a l'esquerra i a la dreta de l'element considerat. Part d'una sèrie d'il·lustracions destinades a il·lustrar la teoria de la línia de sustentació. En la teoria de la línia de sustentació, es presumeix que la línia de vòrtex resultant roman lligada a l'ala, de manera que canvia l'angle vertical efectiu de l'aire lliure entrant. miniatura|El vòrtex que es desprèn del canvi de sustentació d'una ala al llarg de l'envergadura es pot representar com una distribució de velocitat perpendicular a la direcció del vol. El vòrtex provoca un arrossegament ascendent cap a fora i un arrossegament descendent cap a dins de l'element considerat. miniatura|La velocitat vertical (ascendent cap a fora borda, descendent cap a dins) induïda pel vòrtex de descens es pot quantificar fàcilment. És inversament proporcional a la distància des del nucli del vòrtex. Part d'una sèrie d'il·lustracions destinades a il·lustrar la teoria de la línia sustentadora. El moviment vertical induït per una línia de força de vòrtex  a l'aire a distància  de distància és

on la integral s'entén en el sentit d'un valor principal de Cauchy. Aquest flux canvia l'angle d'atac efectiu a y; si la resposta de circulació dels perfils aerodinàmics que formen l'ala s'entén en un rang d'angles d'atac, aleshores es pot desenvolupar una equació integral per determinar Γ(y).

Formalment, hi ha un cert angle d'orientació tal que el perfil alar a la posició no desenvolupa sustentació. Per a corrents d'aire de velocitat orientada a un angle respecte a l'angle sense sustentació, el perfil alar desenvoluparà una certa circulació ; per a petita, l'expansió de Taylor aproxima aquesta circulació com

Suposem que el flux lliure ataca el perfil alar a la posició  a l'angle (relatiu a l'angle sense sustentació del perfil aerodinàmic a la posició — per tant, un flux uniforme a través d'una ala encara pot tenir variable). Mitjançant l'aproximació d'angle petit, l'angle d'atac efectiu a del sistema combinat de corrent lliure i vòrtex és

Totes les quantitats d'aquesta equació, excepte i són propietats geomètriques de l'ala, i per tant un enginyer pot (en principi) resoldre donat un fix. Com en la derivació de la teoria del perfil aerodinàmic prim, un enfocament comú és expandir com una sèrie de Fourier al llarg de l'ala i després mantenir només els primers termes.

Un cop la velocitat , la circulació i la densitat del fluid Si es coneix, se suposa que la sustentació generada per l'ala és la sustentació neta produïda per cada perfil aerodinàmic amb la circulació prescrita...

...i la resistència aerodinàmica és també la total a través dels perfils aerodinàmics:

A partir d'aquestes quantitats i la relació d'aspecte , el factor d'eficiència d'envergadura

es pot calcular.

Aproximacions útils Una aproximació útil per al coeficient de sustentació 3D per a la distribució de circulació el·líptica és Tingueu en compte que aquesta equació esdevé l'equació del perfil alar prim si AR tendeix a infinit.

Referències

Categoria:Aerodinàmica