miniatura|317x317px|Jerarquia dels grans cardinals, ordenada de baix a dalt en ordre creixent de força de consistència. En l'àrea matemàtica de la teoria de conjunts, una propietat de gran cardinal és un cert tipus de propietat dels nombres cardinals transfinits. Els cardinals amb aquestes propietats són, com el seu nom indica, generalment molt "grans" (per exemple, més grans que el nombre més petit tal que ), i la seva existència no es pot demostrar en l'axiomatització més comuna de la teoria de conjunts, és a dir, la teoria ZFC. El fet que diferents propietats de grans cardinals es puguin ordenar linealment en termes de força de consistència, ha fet que s'utilitzin com a eina de mesura de la força de consistència de certs resultats que van "més enllà de ZFC". En altres paraules, es poden veure, en la frase de Dana Scott, com una quantificació del fet "que si vols més has d'assumir més".

Un axioma de gran cardinal és un axioma que afirma l'existència d'un cardinal (o bé, més d'un) amb alguna propietat de gran cardinal.

Aquests axiomes són prou forts per implicar la consistència de ZFC. Per tant, degut al segon teorema d'incompletesa de Gödel, la seva consistència amb ZFC no es pot demostrar en ZFC (suposant que ZFC sigui consistent). Tot i això, la majoria de matemàtics que treballen en teoria de conjunts creuen que els axiomes de grans cardinals considerats actualment són consistents amb ZFC.

Tot i que no hi ha una definició general de la noció de propietat de gran cardinal, hi ha unes certes condicions necessàries que tot gran cardinal ha de complir.

Definició parcial Una condició necessària perquè una propietat dels nombres cardinals sigui una propietat de gran cardinal és que l'existència d'aquest cardinal no sigui inconsistent amb ZF i que, a més, sigui un cardinal no numerable pel qual és un model de ZFC.

Jerarquia de força de consistència Una observació important sobre els axiomes de grans cardinals és que la majoria d'ells semblen aparèixer ordrenats linealment segons la seva força de consistència. És a dir, donats dos axiomes de grans cardinals i , passa exactament una de les tres coses següent:

és consistent si i només si és consistent; la consistència de implica la consistència de ; o bé, la consistència de implica la consistència de .

Aquestes opcions són mútuament excloents, tret que alguna de les teories en qüestió sigui inconsistent.

En el primer cas, diem que i són equiconsistents. En el segon cas, diem que és més fort (en termes de conssistència) que (i viceversa pel cas 3). Si és més fort que , aleshores no pot demostrar la consistència de , fins i tot amb la hipòtesi addicional que sigui consistent. Això es desprèn del segon teorema d'incompletesa de Gödel.

L'observació que els axiomes de grans cardinals estan ordenats linealment segons la seva força de consistència és només això: una observació, no un teorema. Tampoc se sap en tots els casos quina de les tres relacions lògiques es compleix. Saharon Shelah ha preguntat: "hi ha algun teorema que expliqui aquest fet, o la nostra visió és simplement més uniforme del que ens pensem?" Hugh Woodin, per la seva part, dedueix això a partir de la conjectura Ω, el principal problema no resolt de la seva lògica Ω. També cal destacar que molts enunciats de caràcter combinatori són exactament equiconsistents amb alguns axiomes de grans cardinals, en lloc de, per exemple, ocupar un lloc intermedi.

L'ordre dels axiomes de grans cardinals en termes de la seva força de consistència no és necessàriament igual a l'ordre en funció de la mida dels seus testimonis més petits. Per exemple, l'existència d'un <i>huge cardinal</i> és molt més forta, en termes de força de consistència, que l'existència d'un cardinal supercompacte, però, suposant que tots dos existeixin, el primer huge cardinal és més petit que el primer supercompacte.

Motivacions i estatus epistèmic Els grans cardinals s'entenen en el context de l'univers de von Neumann, , que es construeix iterant transfinitament l'operació potència, que recopila tots els subconjunts d'un conjunt donat. Normalment, els models en què fallen els axiomes de grans cardinals es poden veure de forma natural com a submodels d'aquells en què els axiomes es compleixen. Per exemple, si assumim l'existència de cardinals inaccessibles, aleshores "tallar l'univers" a l'alçada del primer d'aquests cardinals produeix un univers en què no hi ha cap cardinal inaccessible. Un altre exemple és el dels cardinal mesurables, que no existeixen en l'univers construïble de Gödel, , que s'obté iterant l'operació potència restringida a aquells subconjunts que són definibles.

És per aquest motiu que molts matemàtics (especialment els inspirats en la tradició de la <i>Cabal</i>) sostenen el punt de vista que els axiomes de grans cardinals "diuen" que estem considerant tots els conjunts que "se suposa" que hem de considerar, mentre que les seves negacions són "restrictives" i "diuen" que només estem considerant alguns d'aquests conjunts. A més, sembla que els axiomes de grans cardinals segueixen certs patrons naturals (vegeu Maddy (1988)). Per aquests i altres motius, els axiomes de grans cardinals tenen un estatus preferent entre les potencials extensions de ZFC, a diferència d'altres axiomes que no tenen una motivació tan clara (com els axiomes de forcing) o que es consideren improbables (com ). Els realistes més estrictes afirmarien, simplement, que els grans axiomes cardinals són certs .

Aquest punt de vista no és de cap manera universal entre els tots els matematics i filòsofs de les matemàtiques. Alguns formalistes afirmarien que la teoria de conjunts estàndard és per definició l'estudi de les conseqüències de ZFC, i tot i que potser no s'oposen en principi a estudiar les conseqüències d'altres sistemes, no veuen cap raó per destacar els axiomes de grans cardinals com a preferits. També hi ha realistes que neguen que el maximalisme ontològic sigui una motivació adequada, i fins i tot creuen que els axiomes de grans cardinals són falsos. Finalment, hi ha qui nega que les negacions dels axiomes de grans cardinals siguin restrictives, assenyalant que (per exemple) pot haver-hi un model transitiu en que creu que existeix un cardinal mesurable, tot i que no satisfà aquesta proposició.

Notes

Enllaços externs "Large Cardinals and Determinacy" a la Stanford Encyclopedia of Philosophy

Categoria:Axiomes de la teoria de conjunts