En mecànica contínua, un camp tensorial de deformació (o deformació) compatible en un cos és aquell únic camp tensorial que s'obté quan el cos se sotmet a un camp de desplaçament continu i univalor. La compatibilitat és l'estudi de les condicions en què es pot garantir aquest camp de desplaçament. Les condicions de compatibilitat són casos particulars de condicions d'integrabilitat i van ser derivades per primera vegada per a l'elasticitat lineal per Barré de Saint-Venant el 1864 i demostrades rigorosament per Beltrami el 1886.C Amrouche, PG Ciarlet, L Gratie, S Kesavan, On Saint Venant's compatibility conditions and Poincaré's lemma, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 342 (2006), 887-891.
En la descripció continua d'un cos sòlid, imaginem que el cos està compost per un conjunt de volums infinitesimals o punts materials. Se suposa que cada volum està connectat als seus veïns sense cap buit ni solapament. Cal complir certes condicions matemàtiques per garantir que no es desenvolupin buits/solapaments quan es deforma un cos continu. Un cos que es deforma sense desenvolupar cap buit/solapament s'anomena cos compatible. Les condicions de compatibilitat són condicions matemàtiques que determinen si una deformació particular deixarà un cos en un estat compatible.Barber, J. R., 2002, Elasticity - 2nd Ed., Kluwer Academic Publications.
En el context de la teoria de deformacions infinitesimals, aquestes condicions equivalen a afirmar que els desplaçaments d'un cos es poden obtenir integrant les deformacions. Aquesta integració és possible si el tensor de Saint-Venant (o tensor d'incompatibilitat) s'esvaeix en un cos simplement connectatN.I. Muskhelishvili, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity. Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1975. on és el tensor de deformació infinitesimal i Per a deformacions finites, les condicions de compatibilitat prenen la forma on és el gradient de deformació.
Condicions de compatibilitat per a deformacions infinitesimals Les condicions de compatibilitat en l'elasticitat lineal s'obtenen observant que hi ha sis relacions deformació-desplaçament que són funcions de només tres desplaçaments desconeguts. Això suggereix que els tres desplaçaments es poden eliminar del sistema d'equacions sense pèrdua d'informació. Les expressions resultants en termes només de les deformacions proporcionen restriccions sobre les possibles formes d'un camp de deformació.
2 dimensions Per a problemes de deformació plana bidimensionals, les relacions deformació-desplaçament són Diferenciació repetida d'aquestes relacions, per tal d'eliminar els desplaçaments
i , ens dóna la condició de compatibilitat bidimensional per a les soques
L'únic camp de desplaçament que permet un camp de deformació plana compatible és un camp de desplaçament plana, és a dir, .
3 dimensions En tres dimensions, a més de dues equacions més de la forma vista per a dues dimensions, hi ha tres equacions més de la forma Per tant, hi ha 34 = 81 equacions diferencials parcials, però a causa de les condicions de simetria, aquest nombre es redueix a sis condicions de compatibilitat diferents. Podem escriure aquestes condicions en notació d'índex com aSlaughter, W. S., 2003, The linearized theory of elasticity, Birkhauser on és el símbol de permutació. En notació tensorial directa on l'operador de rínxols es pot expressar en un sistema de coordenades ortonormals com a .
El tensor de segon ordre es coneix com el tensor d'incompatibilitat (o específicament el tensor de Kröner) i és una forma reduïda del tensor de compatibilitat de Saint-Venant de rang 4
Condicions de compatibilitat per a deformacions finites Per a sòlids en què no cal que les deformacions siguin petites, les condicions de compatibilitat prenen la forma on és el gradient de deformació. En termes de components respecte a un sistema de coordenades cartesianes, podem escriure aquestes relacions de compatibilitat com Aquesta condició és necessària si la deformació ha de ser contínua i derivada de la cartografia. (vegeu la teoria de deformacions finites ). La mateixa condició també és suficient per garantir la compatibilitat en un cos simplement connectat.
Condició de compatibilitat per al tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta Per a sòlids en què no cal que les deformacions siguin petites, les condicions de compatibilitat prenen la forma on és el gradient de deformació. En termes de components respecte a un sistema de coordenades cartesianes, podem escriure aquestes relacions de compatibilitat com Aquesta condició és necessària si la deformació ha de ser contínua i derivada de la cartografia. (vegeu la teoria de deformacions finites ). La mateixa condició també és suficient per garantir la compatibilitat en un cos simplement connectat.
Condició de compatibilitat per al tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta La condició de compatibilitat per al tensor de deformació de Cauchy-Green a la dreta es pot expressar com on és el símbol de Christoffel de segona espècie. La quantitat representa els components mixtos del tensor de curvatura de Riemann-Christoffel.
El problema general de compatibilitat El problema de la compatibilitat en la mecànica del continu implica la determinació dels camps continus univalors admissibles en cossos simplement connectats. Més precisament, el problema es pot plantejar de la manera següent.Acharya, A., 1999, On Compatibility Conditions for the Left Cauchy–Green Deformation Field in Three Dimensions, Journal of Elasticity, Volume 56, Number 2, 95-105 miniatura|400x400px|Figura 1. Moviment d'un cos continu. Considereu la deformació d'un cos que es mostra a la Figura 1. Si expressem tots els vectors en termes del sistema de coordenades de referència , el desplaçament d'un punt del cos ve donat per També
Quines condicions en un camp tensorial de segon ordre donat en un cos són necessaris i suficients perquè existeixi un únic camp vectorial que satisfà
Condicions necessàries Per a les condicions necessàries, suposem que el camp existeix i satisfà Aleshores Com que canviar l'ordre de la diferenciació no afecta el resultat que tenim Per tant De la identitat coneguda per al rotllo d'un tensor obtenim la condició necessària
Condicions suficients miniatura|229x229px|Figura 2. Camins d'integració utilitzats per demostrar les condicions de suficiència per a la compatibilitat. Per demostrar que aquesta condició és suficient per garantir l'existència d'un camp tensorial de segon ordre compatible, comencem amb la suposició que un camp existeix de manera que Integrarem aquest camp per trobar el camp vectorial al llarg d'una línia entre punts i (vegeu la figura 2), és a dir, Si el camp vectorial ha de ser univalor, aleshores el valor de la integral ha de ser independent del camí seguit per anar des de a .
Segons el teorema de Stokes, la integral d'un tensor de segon ordre al llarg d'un camí tancat ve donada per Usant la suposició que el rínxol de és zero, obtenim Per tant, la integral és independent del camí i la condició de compatibilitat és suficient per garantir un únic camp, sempre que el cos estigui simplement connectat.
Compatibilitat del gradient de deformació La condició de compatibilitat per al gradient de deformació s'obté directament de la demostració anterior observant que Aleshores, les condicions necessàries i suficients per a l'existència d'una compatibilitat camp sobre un cos simplement connectat són
Compatibilitat de deformacions infinitesimals Donat un camp tensorial simètric de segon ordre Quan és possible construir un camp vectorial de tal manera que
Condicions necessàries Suposem que existeix de manera que l'expressió per a manté. Ara on Per tant, en notació d'índex, Si és contínuament diferenciable tenim Per tant, En notació tensorial directa Les anteriors són condicions necessàries. Si és el vector de rotació infinitesimal, aleshores . Per tant, la condició necessària també es pot escriure com .
Condicions suficients Suposem ara que la condició es compleix en una porció d'un cos. És aquesta condició suficient per garantir l'existència d'un camp de desplaçament continu i univalor ?
El primer pas del procés és demostrar que aquesta condició implica que el tensor de rotació infinitesimal està definit de manera única. Per fer-ho, integrem al llarg del camí a , és a dir, Tingueu en compte que necessitem saber una referència per fixar la rotació del cos rígid. El camp es determina de manera única només si la integral de contorn al llarg d'un contorn tancat entre i és zero, és a dir, Però a partir del teorema de Stokes per a un cos simplement connectat i la condició necessària per a la compatibilitat Per tant, el camp està definit de manera única, la qual cosa implica que el tensor de rotació infinitesimal també es defineix de manera única, sempre que el cos estigui simplement connectat.
En el següent pas del procés, considerarem la singularitat del camp de desplaçament. Com abans, integrem el gradient de desplaçament A partir del teorema de Stokes i utilitzant les relacions tenim Per tant, el camp de desplaçament també es determina de manera única. Per tant, les condicions de compatibilitat són suficients per garantir l'existència d'un camp de desplaçament únic en un cos simplement connectat.
Compatibilitat per al camp de deformació de Cauchy-Green a la dreta El problema de compatibilitat per al camp de deformació de Cauchy-Green a la dreta es pot plantejar de la següent manera.
Problema: Deixeu sigui un camp tensorial simètric definit positiu definit a la configuració de referència. Sota quines condicions en Existeix una configuració deformada marcada pel camp de posició de tal manera que
Condicions suficients La prova de suficiència és una mica més complexa.Acharya, A., 1999, On Compatibility Conditions for the Left Cauchy–Green Deformation Field in Three Dimensions, Journal of Elasticity, Volume 56, Number 2, 95-105Blume, J. A., 1989, "Compatibility conditions for a left Cauchy-Green strain field", J. Elasticity, v. 21, p. 271-308. Comencem amb la suposició que Hem de demostrar que existeixen i de tal manera que A partir d'un teorema de TYThomasThomas, T. Y., 1934, "Systems of total differential equations defined over simply connected domains", Annals of Mathematics, 35(4), p. 930-734 sabem que el sistema d'equacions té solucions úniques sobre dominis simplement connectats si El primer d'aquests és cert a partir de la definició de i la segona és assumida. Per tant, la condició assumida ens dóna una única això és continu.
A continuació, considerem el sistema d'equacions Des de és i el cos està simplement connectat, existeix alguna solució a les equacions anteriors. Podem demostrar que també compleixen la propietat que També podem demostrar que la relació implica que Si associem aquestes quantitats amb camps tensorials podem demostrar que és invertible i el camp tensorial construït satisfà l'expressió per a .
Referències
Categoria:Ciència de materials