En matemàtiques i optimització matemàtica, el conjugat convex d'una funció és una generalització de la transformació de Legendre que s'aplica a funcions no convexes. També es coneix com a transformació de Legendre-Fenchel, transformació de Fenchel o conjugat de Fenchel (en honor a Adrien-Marie Legendre i Werner Fenchel). El conjugat convex s'utilitza àmpliament per construir el problema dual en la teoria de l'optimització, generalitzant així la dualitat lagrangiana.
Definició Sigui un espai vectorial topològic real i sigui ser l'espai dual a . Denotat per
l'aparellament dual canònic, que es defineix per
Per a una funció prenent valors a la recta de nombres reals estesa, el seu convex conjugate és la funció
el valor del qual a es defineix com el suprem:
o, equivalentment, en termes de l'ínfim:
Aquesta definició es pot interpretar com una codificació de l'envolupament convex de l'epígraf de la funció en termes dels seus hiperplans de suport.
Exemples Per a més exemples, vegeu .
El conjugat convex d'una funció afí és El conjugat convex d'una funció de potència és El conjugat convex de la funció de valor absolut és El conjugat convex de la funció exponencial és
El conjugat convex i la transformada de Legendre de la funció exponencial coincideixen, excepte que el domini del conjugat convex és estrictament més gran, ja que la transformada de Legendre només es defineix per a nombres reals positius.
Connexió amb el dèficit previst (valor mitjà en risc) Vegeu aquest article per exemple.
Sigui F una funció de distribució acumulativa d'una variable aleatòria X. Aleshores (integrant per parts), té el conjugat convex
Propietats El conjugat convex d'una funció convexa tancada és de nou una funció convexa tancada. El conjugat convex d'una funció convexa polièdrica (una funció convexa amb epígraf polièdric) és de nou una funció convexa polièdrica.
Biconjugat El conjugat convex d'una funció sempre és inferiorment semicontinu. El biconjugat (el conjugat convex del conjugat convex) és també l'envolupant convex tancat, és a dir, la funció convexa semicontínua inferior més gran amb Per a funcions adequades
si i només si és convex i inferiorment semicontinu, per la, pel teorema de Fenchel–Moreau.
Desigualtat de Fenchel Per a qualsevol funció i el seu conjugat convex , la desigualtat de Fenchel (també coneguda com a desigualtat de Fenchel-Young) es compleix per a tot i
A més, la igualtat només es compleix quan , on és el subgradient. La demostració es desprèn de la definició de conjugat convex:
Convexitat Per a dues funcions i i un nombre la relació de convexitat
té. El L'operació és en si mateixa una aplicació convexa.
Circunvolució ínfima La convolució infimal (o episuma) de dues funcions i es defineix com
L'operació és simètric (commutatiu) i associatiu, és a dir,
Sigui funcions pròpies, convexes i inferiorment semicontínues en Aleshores, la convolució infimal és convexa i semicontínua inferiorment (però no necessàriament pròpia), i satisfà
o, equivalentment,
que expressa el comportament de la conjugació convexa respecte a sumes de funcions.
La convolució infimal de dues funcions té una interpretació geomètrica: l'epígraf (estricte) de la convolució infimal de dues funcions és la suma de Minkowski dels epígrafs (estrictes) d'aquestes funcions.
Propietats d'escala Si per alguns , aleshores
Comportament sota transformacions lineals Sigui un operador lineal limitat. Per a qualsevol funció convexa en
on
és la preimatge de respecte a i és l'operador adjunt de Ioffe, A.D. and Tichomirov, V.M. (1979), Theorie der Extremalaufgaben. Deutscher Verlag der Wissenschaften. Satz 3.4.3
Taula de conjugats convexos seleccionats La taula següent proporciona transformades de Legendre per a moltes funcions comunes, així com algunes propietats útils. (on ) (on ) (on ) (on ) (on ) (on )
Referències
Categoria:Matemàtiques